वर्ग पर विशेष (More on square)
1. 10 के निकट की संख्या (number) जैसे 11, 12, 13.........20 इत्यादि वर्ग निकालने के लिए पहले आप यह देखें कि वह संख्या 10 से कितना अधिक है। इस अंक (जितना अधिक है) का वर्ग पहले निकालें और गुणनफल का इकाई (ones) लिखकर दहाई को शेष के लिए रख लें। इसके बाद इस संख्या में शेष जोड़ने के साथ वह संख्या (जिसका वर्ग निकाले थे, यानी अधिक अंक) जोड़कर लिख दें। जैसे (19) = 361 होगा।
ध्यान दें, 19 दस से 9 अधिक है अत: हमने पहले (9) = 81 का लिखा = और बाकी को शेष के लिए रख लिया। अब हम 19 में 9 के साथ ही 8 (शेष) जोड़कर 36 लिख देते हैं।
इस विधि को आप ऐसे भी समझ सकते हैं कि पहले इकाई का वर्ग कर गुणनफल की इकाई लिखते हैं फिर उस संख्या में संख्या के इकाई के साथ ही शेष जोड़कर लिख देते हैं।
2. इसी विधि से 100 से 200 के बीच की संख्या का वर्ग भी निकाल सकते हैं। इसके लिए पहले हम उस संख्या (जिसका वर्ग निकालना है) एवं 100 के बीच का अंतर (difference) निकालते हैं। अंतर के रूप में प्राप्त संख्या, का वर्ग कर गुणनफल का दो अंक पहले लिखकर बाकी को शेष के लिए रख लेते हैं। इसके बाद दी हुई संख्या में शेष के साथ ही उस संख्या के प्रथम दो अंकों (इकाई व दहाई) से मिलकर बनी संख्या जोड़कर लिख देते हैं। जैसे (124)' = 15376 होगा।
ध्यान दें, 124 एवं 100 का अंतर 24 है। अतः पहले हमने 24 का वर्ग 576 प्राप्त किया और उत्तर के प्रथम दो अंक यानी 76 को पहले लिखा तथा 5 शेष रह गया। अब 124 + 5 + 24 = 153 लिख दिया।.
3. 100 से कम रहने पर पहले आप दी हुई संख्या और 100 का अंतर ज्ञात करें। अब आप अंतर के रूप में प्राप्त संख्या का वर्ग निकालकर गुणनफल के केवल प्रथम दो अंक लिखें और बाकी शेष के लिए रख लें। यहाँ यह घ्यान रखें कि गुणनफल (Product) में अगर केवल 2 अंक ही हों तो हम उत्तर के लिए केवल इकाई रखते हैं तथा दहाई शेष के लिए रख लेते हैं। अब हम दी हुई संख्या में शेष जोड़कर इस योगफल से दोनों संख्याओं के अंतर को घटा लेते हैं इस नियम के अनुसार (89) = 7921 होगा।
ध्यान दें, 89 एवं 100 के बीच 11 का अंतर है। 11 का वर्ग 121 होता है। अत; हमने पहले 21 लिखा और 1 को शेष (हासिल) के लिए रख लिया। अब हमने 89 में 1 जोड़कर 90 प्राप्त किया और इसके बाद इसमें से (90 में से) 11 (अंतर) घटाकर 79 लिख दिया।
4. आप इसी विधि से 1000 के नजदीक वाली संख्याओं का वर्ग भी निकाल सकते हैं। केवल इतना याद रखें कि संख्या अगर 10 के नजदीक हो तो पहले केवल 1 अंक, 100 के नजदीक होने पर 2 अंक एवं 1000 के नजदीक होने पर केवल तीन अंक लिखते हैं और बाकी को शेष के लिए रख लेते हैं। वर्ग करने पर इनसे कम अंक आने पर जितने अंक कम पड़ते हैं, उतने ही 0 लगा देते हैं।
जैसे (997) = 994009 होगा। 1 ध्यान दें, 997 एवं 1000 का अंतर 3 है। 3 का वर्ग 9 होता है जिसमें केवल
एक अंक है। 1000 के नजदीक की संख्या के लिए पहले हमें तीन अंक चाहिए था अतः हमने 9 से पहले अपनी ओर से
दो 0 लगाकर 009 लिखा। अब 997 - 3 = 994 लिख दिया।
वर्गमूल (Square-root)
