Multiplication by the help of addition (गुणा को जोड़ की सहायता से बनाना)

 15. Multiplication by the help of addition (गुणा को जोड़ की सहायता से बनाना) :-

अगर आपके गुणक (multiplier) में केवल 1 ही 1 हो तो आप अपने गुणा को जोड़ की सहायता से बना सकते हैं। आप अपने गुणा को जोड़ की सहायता से बनाने के लिए निम्न नियम पर गौर करें।

46285x111 = 5137635 होगा। ध्यान दें, पहले हमने 5 लिखा। फिर 5 + ৪ = 13 का 3 लिखा और 1 शेष (in hand) रहा। अब 5 + 8 + 2 3D 15 में 1 (शेष) जोड़कर 16 का 6 लिखा। चूँकि 111 में तीन 1 थे हम प्रारम्भ से शुरू कर तीन अंकों (digits) तक पहुँच चुके हैं। अतः हमने 5 को छोड़ दिया और 8+ 2 + 6 = 16 में 1 (शेष) जोड़कर 17 का 7.लिखा। इसके बाद 2 + 6 + 4 = 12 में 1 जोड़कर 13 का 3 लिख दिया। ध्यान दें, इस बार हमने 2 को भी छोड़ दिया और 2 के बाद केवल दो अंक (digit) बचे हैं। अत: 6 + 4 = 10 में 1 जोड़कर 11 का 1 लिख दिया। इस बार 6 को भी छोड़ दिया और 4 + 1 = 5 लिख दिया।

ध्यान दें, हमारे गुणक में तीन 1 थे। अतः प्रारंभ में एक अंक लेकर जोड़ना प्रारंभ किया और इस तरह जोड़ते हुए तीन अंकों तक जोड़ (add) लेने के बाद हमने दायीं ओर से एक-एक अंक छोड़कर जोड़ना प्रारंभ किया। एक अंक छोड़ने के बाद हम तीन-तीन अंकों का समूह बनाकर जोड़ते गये और दायें से एक-एक अंक छोड़ते गये। जब हमने 2 को भी छोड़ दिया तो केवल दो अंक (digit) ही हमारे पास बच गये। इसलिए हमने इन्हीं दोनों को योगफल में शेष जोड़ कर लिखा। इसी तरह 6 को भी छोड़ देने के बाद अंतिम बचे अंक 4 में 1 जोड़कर (शेष) 5 लिख दिया।

इसी तरह अगर हमारे गुणक (multiplier) में चार 1 होते तो हम प्रारंभ से शुरू कर चार अंकों तक जोड़कर लिखते जाते। फिर जब तक चार अंकों का समूह मौजूद होता, हम चार-चार अंकों को जोड़कर लिखते जाते। चार अंक पूरा हो जाने के बाद दायें से एक-एक अंक छोड़ते जाते। हाँ, इतना अवश्य ध्यान रखें कि हम योगफल (sum) का केवल इकाई (ones) लिखते हैं और बाकी बचे अंक शेष in hand) के लिए रख लेते हैं। जिसे अगले Step के अंकों के योगफल (sum of the digit) में जोड़कर लिख दिया जाता है।

16. आइए, देखें ये नियम कैसे काम करते हैं ?

हम 34268 x111 को 34268 (100 + 10 + 1) लिख सकते हैं। इसे सरल करने पर 34268 x 111 = 3426800+342680 + 34268 होगा। इन्हें जोड़ने पर 3803748 होगा। आप इस नियम में अंकों के योगफल पर ध्यान दें तो आपको उपरोक्त नियम को समझने में कोई दिक्कत नहीं होगी।

17. इस नियम को ठीक से समझ लेने के बाद आप एक ही अंक (digit) की पुनरावृत्ति (repeatation) से बनी संख्या से किसी भी संख्या को आसानी से गुणा कर सकते हैं। आप इस विधि से सारी क्रियाएँ पूर्ववत करते हैं, केवल अंकों के योगफल को उतना ही गुणा (times) कर देते हैं जो अंक (digit) गुणक में होते हैं। जैसे गुणक के सारे अंक केवल 2 ही 2 हों तो योगफल (Sum) को दुगुना (2 times or double) करके शेष (in hand) जोड़कर लिखते हैं। जैसे 46285x444 = 20550540 होगा। ध्यान दें, हमने पहले 46285 के इकाई यानी 5 को चौगुना (4times) किया और इस तरह 5x4 =20 का 0 लिखा तथा 2 को शेष (in hand) के लिए छोड़ दिया। अब प्रारंभ से दो अंक 5 एवं 8 के योगफल (sum) 13 को 4 गुणा कर उसमें शेष (In hand) वाला 2 जोड़कर 52+ 2 3D 54 का 4 लिखा से तथा 5 शेष रहा। उसी तरह 5 +8 + 2 = 15 को 4 से गुणा कर उसमें 5 (शेष) जोड़कर 60 + 5 = 65 का 5 लिख दिया।

चूँकि हमारे गुणक (multiplier) में 4 की संख्या तीन थी और हम प्रारंभ से एक-एक अंक लेते हुए तीन अंकों तक पहुँच चुके हैं अतः हम अब प्रारंभ का एक अंक (digit) यानी 5 को छोड़ देते हैं, और 5 के बाद अगला तीन अंक यानी ৪ + 2 + 6 = 16 को 4 से गुणा कर इसमें 6 (शेष) जोड़ने के बाद 64 + 6 = 70 का 0 लिखे और 7 शेष (In hand) रह गया। उसी तरह अब 5 के बाद वाला अंक 8 को छोड़ दिया गया और 8 के बाद के तीन अंक यानी 2 + 6 + 4 3 12 को 4 से गुणा कर 7 (शेष) जोड़कर 48 + 7 = 55 का 5 लिखे तथा दूसरा 5 शेष रह गया।

अब 2 को छोड़ देने के बाद हमारे पास केवल दो अंक यानी 6 एवं 4 बचते हैं। अतः हमने 6 + 4 = 10 को 4 से गुणा (multiply) कर 5 (शेष) जोड़कर 40 + 5 = 45 का 5 लिख दिया। सबसे अंत में (6 को भी छोड़ देने के बाद ) हमारे पास केवल 4 बचता है। अतः हमने 4 x 4 में 4 (शेष) जोड़कर 16 + 4 = 20 का 20 लिख दिया।

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18 आइए, देखें ये नियम कैसे काम करते हैं ?