18. आइए देखें, ये नियम कैसे काम करते हैं ? How to use this rule ?
हम 46285 x 444 को 46285 (100 + 10 + 1 ) x 4 लिख सकते हैं। अतः हम सारी क्रियाएँ पूर्ववत करते हैं और योगफल को 4 से गुणाकर शेष (in hand) जोड़ते हुए लिखते जाते हैं।
19. इस नियम को लागू करते वक्त अगर गुण्य (multiplicand) में अंकों की संख्या (number of the digits) गुणक (multiplier) के अंकों से कम हो जाए तो हम अपने गुण्य (multiplicand) के बायीं ओर (left side) मन ही मन उतने 0 बैठा लेते हैं, जितने अंक कम पड़ते हैं। जैसे 4628x 11111 की क्रिया 04628 x 11111 मानकर की जाएगी। हम पहले 8 से जोड़ना (add) प्रारंभ करेंगे और 4 तक पहुंचेंगे। चूंकि हमारे गुण्य (multiplicand) में अंकों की संख्या गुणक के अंकों से कम है, अतः हमें छोड़ने के लिए कोई अंक बचता ही नहीं हैं। अत: ऐसा गुणा तो और आसानी से हो सकता है।
20. अगर आपके गुणक (multiplier) में 12 से 19 तक के कोई अंक हो और आपको 12 से 19 के पहाड़ा में समस्या हो तो आप इसे भी जोड़ की सहायता से बना सकते हैं।
दों अंकों की संख्या से किसी भी संख्या को गुणा करने के लिए हम अपने गुण्य (multiplicand) में से बारी-बारी से (दायीं ओर से) एक एक अंक लेकर उसे अपने गुणक के इकाई (Ones) से गुणा (multiply) करते जाते हैं। इस गुणफल (Product) में गुण्य के जिस अंक को गुणा किया था उससे ठीक पहले का अंक जोड़कर योगफल का इकाई लिखते जाते हैं और दहाई (tens) को शेष (in hand) के लिए रखते जाते हैं। जैसे 7486 x 18 %3 134748 होगा।
ध्यान दें, हमारे गुणक (multiplier) का इकाई 8 है अत: हमने पहले अपने गुण्य यानी 7486 के इकाई (ones) यानी 6 को 8 से गुणा कर 48 प्राप्त किया। चूंकि 6 से ठीक पहले कोई अंक नहीं है अत: हमने 48 में कुछ नहीं जोड़ा और 48 का 8 लिख दिया तथा 4 शेष के लिए रह गया। अगले step में हमने अपने गुण्य का दूसरा अंक यानी 8 को 8 से गुणा कर 64 प्राप्त किया और इसमें 4 (शेष) जोड़कर 68 प्राप्त किया। चूंकि 8 के ठीक पहले 6 है, अत: 68 में 6 जोड़कर 74 प्राप्त किया और इसका इकाई यानी 4 को लिख दिया तथा 7 शेष के लिए रह गया अब हमने 8 के बाद वाले अंक 4 को 8 से गुणा कर पहले 32 प्राप्त किया। फिर उसमें 7 जोड़ने पर 39 हुआ। 39 में 4 के ठीक पहले का अंक यानी 8 जोड़कर 47 को 7 लिखा और 4 शेष (In hand) रह गया। ध्यान दें, यहाँ हमें 8 से पहले के अंक 6 से कोई मतलब नहीं हैं क्योंकि हमने उसे छोड़ दिया है।
उसी तरह अगले step में हमने 7 x 8 में 4 (शेष) + 4 ( 7 के ठीक पहले का अंक ) जोड़कर 56 + 4 + 4 = 64 का 4 लिखा और 6 को शेष के लिए रख दिया। अब 7 के बाद कोई अंक नहीं है। अत: हम 0 को 8 से गुणा कर उसमें 6 (शेष) + 7 ( 0 के ठीक पहले का अंक) जोड़कर 0 + 6 + 7 = 13 का 13 लिख दिया। इस तरह हमें 134748 प्राप्त हुआ जो 7486 x 18 का सही गुणनफल (Product) है।
21. चूंकि किसी संख्या को बार-बार जोड़ने से प्राप्त योगफल (sum) ही उस संख्या को उतने अंक (जितने बार जोड़ा जाय ) से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल के बराबर होता है।अतः जोड़ एवं गुणा दोनों की क्रिया एक ही है। बार-बार जोड़ने से बचने के लिए ही गुणा की क्रिया की जाती है। इस तथ्य (fact) को अगर आप ठीक से समझ गये तो किसी भी गुणा को जोड़ (addition) के द्वारा बना करके दिखा सकते हैं। उदाहरणस्वरूप हम यहाँ किसी बड़ी संख्या को दो अंकों की किसी भी संख्या (number of two digits) से गुणा करना सिखाते हैं। जैसे 7648 x 39 = 298272 होगा।
हम पहले 8x9= 72 का 2 लिखेंगे और 7 शेष रहेगा। अब 4x9 में पहले 7 (शेष) जोड़कर 36 + 7 = 43 प्राप्त करेंगे और इसमें 8x3 = 24 जोड़कर 43 + 24 = 67 प्राप्त करेंगे। इस तरह 67 का 7 लिखेंगे और 6 शेष के लिए रहेगा। अगले step में हम 6 x 9 = 54 में 6 (शेष) जोड़कर 60 प्राप्त करेंगे और फिर इसमें 4x3 = 12 जोड़कर 60 + 12 = 72 प्राप्त करेंगे। इस तरह 72 का 2 लिखते हैं और 7 शेष (In hand) के लिए रख लेते हैं। ध्यान दें, इस step में हमने 8 को छोड़ दिया है क्योंकि हमारे पास गुणक (multiplier) में केवल दो अंक थे।
इसी तरह 7 x 9 = 63 में 7 जोड़कर फिर उसमें 6 x3 = 18 जोड़ने से 63 + 7 + 18 = 88 होता है। अतः हम 8 लिखेंगे और 8 शेष के लिए रखेंगे। अब 7 के बाद कोई अंक नहीं बचा है अतः यहाँ हम मन ही मन 0 मान लेंगे और (0 x 9) + 8 (शेष) + 7 x 3 %= 0+ 8 + 21 = 29 का 29 लिख देंगे। इस तरह 7648 x 39 = 298272 होगा
आप इससे पहले के ट्रिक 7486x18 के पहले दो स्टेप को गौर से देखें। हमने इसमें पहले 6 x 8 =48 का 8 लिखा तथा फिर 8x8 = 64 +4 (शेष) + 6 =74 का 4 भी लिखा। हम इस स्टेप को (8x8) + (6x1)+ 4 (शेष) = 64 + 6+4 =74। का 4 भी लिख सकते हैं। चूँकि 1 से गुणा करने पर कोई फर्क नहीं पड़ता अत: हमने । 6x1 नहीं लिखकर केवल 6 को जोड़ने के लिए कहा। ध्यान दें, हमने 6 को जोड़ने । से पहले शेष (In hand) 4 को 64 में इसलिए जोड़ दिया था ताकि भूलवश (by mistake) शेष जोड़ना कहीं छूट न जाए।
इसी तरह 7486 x18 में पहले step की व्याख्या 6x8+ 0x1+0= 48 लिखकर की जा सकती है। ध्यान दें, 6 के ठीक पहले कोई अंक नहीं था अतः हर से वहाँ मन ही मन 0 मान लिया। चूंकि 0 को 1 गुणा करने पर 0 ही होगा और 0 को जोड़ने से संख्या में कोई फर्क नहीं पड़ता, अतः हमने 6x8=48 में कुछ नहीं जोड़ा। यह भी ध्यान रखें कि पहला step होने के कारण हमारे पास जोड़ने के लिए शेष में भी कुछ नहीं था।
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22. Division by the help of addition ( भाग को जोड़ से बनाना) :
