power of oral calculation
इस कैलकुलेटर व कम्प्यूटर के जमाने में एक कड़वी सच्चाई है कि बच्चे तो बच्चे, बड़े लोग भी इसके इतने अभ्यस्त (Habituated) हो चुके हैं कि वे साधारण जोड़-घटाव भी मुँह-जुबानी करने से बचने की मानसिकता के कारण इन्हें मुँह-जुबानी (oraly) करना भूलते जा रहे हैं। छोटे बच्चों के लिए यह बात अच्छी नहीं कहीं जा सकती क्योंकि जो छात्र मौखिक गणनाएँ करने में जितना माहिर होता है वह 'मैथ्स' में उतना ही अच्छा करता है। अतः बच्चों को oral calcutaion का महत्त्व समझाने के साथ ही अधिक से अधिक calculation oraly करने को प्रेरित करने के उद्देश्य से यहाँ मैं oral calculation पर आधारित कुछ ऐसे चमत्कारिक कारनामों की चर्चा कर रहा हूँ जिन्हें देखकर कोई भी आदमी यह मानने को तैयार नहीं हो सकता कि ऐसा करना Maths के द्वारा संभव है। इन सभी कारनामों को सफलता पूर्वक प्रदर्शित करने के लिए आपको तो oral calculation का expert बनना ही होगा आप जिस किसी को भी यह दिखाएंगे वह भी अगर oral calculation के मामले में दक्ष नहीं हो तो उसे मजा नहीं आएगा। अतः आप छोटी-मोटी गणनाएँ अधिक से अधिक तेजी से मौखिक रूप से करने की आदत डालें, क्योंकि ऐसा हो जाने के बाद जब आप किसी को ये जादू दिखाएँगे तो लोग आपको जीनियस समझने लगेंगे। क्या आप लोगों की नजर में जीनियस बनना नहीं चाहेंगे? तो फिर आज ही से शुरू हो जाइए।
1. बिना कुछ पूछे उम्र बताना :
जिन दर्शकों को बिना कुछ पूछे उम्र बताना हो उन्हें निम्न निर्देशों के अनुसार चुपचाप क्रिया करने को कहँ ।
निर्देश :
आप उससे यह संख्या पूछ लें और इस संख्या के अंतिम दो अंकों को उसकी उम्र बता दें। जैसे इस उदाहरण में दर्शक ने 2636 बताया। अत: 2636 के अंतिम दो अंक यानी 36 वर्ष उसकी उम्र है।
नोट :- अगर दर्शकों में से किसी के जन्म का महीना विषम संख्या हो तो वह जन्न आपके निर्देशों का पालन करते हुए सारी गणनाऐं (calculations) करने "के बाद अपने जन्म का वर्ष घटाकर आपको संख्या बताएगा तो उसकी संख्या के इकाई व दहाई पर इतनी बड़ी संख्या होगी जिसे देखकर आपको विश्वास ही नहीं होगा कि उसकी उम्र वास्तव में इतनी हो सकती है। अतः ऐसी स्थिति में आप उसकी बतायी गयी संख्या के अंतिम दो अंकों में से मन ही मन 50 घटा कर बची संख्या को उसकी उम्र बता दें। जैसे मान लिया जाय कि इस उदाहरण में हमारा जन्मतिथि 29-4-1968 के बदले 29-3-1968 होता तो सारी क्रियाएँ करने के बाद दर्शक आपको 2386 बताएगा। इसके अंतिम दो अंक यानी 86 वर्ष किसी 35-40 वर्ष की उम्र के दिख रहे व्यक्ति की हो नहीं सकती। अतः हम 86 में से 50 घटाकर 8650 = 36 वर्ष उसकी उम्र बता देंगे।
2. दर्शकों के द्वारा छुपा कर पहनी गयी अंगूठी (ring) के बारे में बताना कि किस आदमी ने किस हाथ (hand) की किस अंगुली (finger)में अंगूठी (ring) पहनी है:-
आप दर्शको में से किसी एक की अंगूठी (ring) माँग लेंगे और उसे सबों के सामने मेज पर रख देंगें। अब आप अपने दर्शकों को सम्बोधित करते हुए कहें कि आप कुछ देर के लिए स्टेज के पीछे जा रहे हैं। आपके जाने के बाद आपके दर्शकों में से कोई इसे किसी भी हाथ की किसी अंगुली (finger) में पहनकर छुपा लेगा। जब आप वापस आएँगे तो बिना किसी से कुछ पूछे तीनों चीज बिल्कुल सही-सही बता देंगे कि किस आदमी ने किस हाथ की किस अंगुली (figer) में अंगूठी (ring) पहनी है। मेरा विश्वास कीजिए कि जब इस जादू को सफलतापूर्वक आप दिखा देंगे तो लोग आपको आसाम या बंगाल का पहुँचा हुआ जादूगर मानने लगेंगे लेकिन ऐसी कोई बात नहीं है। यह तो बस गणित का एक साधारण खेल है। आइए देखें यह कैसे संभव होता है।
विधि (method) :- आप अपने दर्शकों में से कुछ दर्शकों को स्टेज पर बुलाकर एक पंक्ति (row) में खड़ा कर दें। आप इस जादू को अगर ज्यादा असरदार तरीके से दिखाना चाहते हैं तो अपने एक आदमी को पंक्ति में (row) खड़ा कर दें। आप दायीं (right) ओर से गिनकर सभी दर्शकों का नम्बर निर्धारित कर दें। अपने आदमी को इस फार्मूला (formula) की प्रैक्टिस पहले ही खूब बढ़िया से करा दें। फार्मूला (formula):- (दर्शकों की संख्या number x2} +3]x5+8 या 9x10+ऊँगली (figer) की संख्या (number) +2 यानी उसे कहें कि पहले वह दर्शक की संख्या (जो आदमी अंगूठी पहने हुए है उसकी संख्या number उस पंक्ति row के अनुसार दायीं right ओर से गिनने पर जो भी है) को 2 से गुणा (multiply) करे। अब जितना हो उसमें 3 जोड़े (add.)। अब जितना हो उसे 5 से गुणा (multiply) कर दें । अब अगर अंगूठी दायें (right) हाथ (hand) में पहना है तो 8 और यदि बायें (left) में पहना है तो 9 जोड़े (add.) (इसलिए सूत्र formula में 8/9 लिखा गया है जिसका अर्थ है 8 या 9) अब इस योगफल (sum) को 10 से गुणा (multiply) करे | इस गुणनफल (product) में अंगुली (finger) नम्बरे (कानी अंगुली little finger को 1 मानकर गिनना चाहिए, दोनों हाथों में कानी अंगुली little finger का नंबर 1 एवं अंगूठा thumb का नंबर 5 होगा) जोड़ (add:) दें। अब अंत में उसे 2 जोड़ने (add) के लिए कहें। आप अपने आदमी को यह बात भी पहले ही बात दें कि जब आप बाहर चले जाएँगे और दर्शक अंगूठी (ring) पहनने लगे तो वह खुद अंगूठी (ring) नहीं पहने और जिस आदमी ने अंगूठी (ring) पहनी है उसका और उसकी अंगुली (finger) की संख्या (number) ध्यान में रख ले।
उसे एक अंतिम बात और भी अच्छी तरह समझा दें कि जब आप वापस आकर उससे उसका फोन नंबर पूछें तो वह आपको अपने गुणनफल (product) की इकाई (ones) एवं अंत में कोई एक जैसा अंक (digit) ही लगाकर बोले। अब आप अपने खड़े किये गये दर्शकों से यह आग्रह करते हुए कुछ देर के लिए बाहर चले जाएं कि वे लोग कृपया शांति से अंगूठी (ring) पहन लें और चुपचाप अपने स्थान पर जाकर खड़े हो जाएँ। साथ ही, अंगूठी (ring) पहनेंगे तो कोई एक आदमी परन्तु सभी के सभी हाथ (hand) बाँधकर या जेब में हाथ डालकर खड़े हो जाएँ ताकि पता नहीं चले कि किसने अंगूठी (ring) पहनी है। जब अंगूठी (ring) पहन कर छुपा ली जाएगी तो शेष दर्शक ताली बजाकर आपको सूचित कर देंगे और आप वापस स्टेज पर आ जाएँगे । स्टेज पर आते ही आप एक अजनबी की तरह अपने आदमी से उसका फोन नंबर पूछें। जब वह फोन नंबर बता दे तो उस आदमी को कहें कि मैं तुमसे बाद में बात करूँगा, पहले मैं इन लोगों को बता दूँ कि अंगूठी चोर कौन है?
अब एक कुशल जादूगर की तरह पीछे की ओर मुड़ जाएँ और चुपचाप इकाई (ones) एवं अंतिम को छाँटकर शेष (remaining) बची संख्या में से 222 घटा दें। इस तरह आपको जो संख्या (number) प्राप्त होगी उसका इकाई अंक (ones digit) अंगुली (finger) संख्या, दहाई अंक (tens digit) हाथ की संख्या और शेष (remaining) बची संख्या दर्शकों की संख्या होगी। जैसे 610356 बताया तो आप इस संख्या (number) की इकाई (ones) एवं अंतिम 6 को हटा दें क्योंकि ये तो फालतू है। अब आपको 1035 बचे। इसमें से 222 घटाने (subtract) पर आपको 813 प्राप्त होगा। ध्यान दें, 813 का इकाई अंक (ones digit) 3 है अत: इसका अर्थ है कि अंगूठी (ring) तीसरी अंगुली (finger) में पहनी गयी है। 813 का दहाई अंक (tens digit) 1 है इसका अर्थ हुआ कि अंगूठी (ring) दायीं (right) हाथ में है (अगर यहाँ 2 आता तो बायाँ left हाथ होता)। अगर यहाँ 1 या 2 को छोड़कर कोई और अंक (digit) होता या इकाई (ones) पर 1 से 5 छोड़कर कोई और अंक (digit) होता तो इसका अर्थ है कि गणना में अवश्य ही कहीं गलती हुई है। आप दुबारा गणना करवा कर देखें)। 813 में 3 एंव 1 के बाद केवल 8 बचता है अतः इसका अर्थ हुआ कि आठवें दर्शक ने अंगूठी (ring) पहनी है। आप 8 वें दर्शक दायों हाथ (right hand) और तीसरी अंगुली (3rd finger) को ध्यान में रखकर क्रिया करें और आपको अगर गणना में भूल चूक नहीं हुई हो तो आपको 1035 ही मिलेंगे। खुद देख लें। 8 x 2 = 16, +3 = 19, x 5 = 95, + 8 = 103 x 10 = 1030, + 3 1033,+2 1035
एक बात का ध्यान रखें कि यहां BODMAS के मुताबिक क्रिया नहीं करें।
3. बिना पूछे भाई-बहन, मौसा- मौसी या बेटे-बेटे की संख्या (number) बताना:-
आप अपने दर्शकों को कहेंगे कि आप उनमें से किसी को नहीं पहचानते हैं लेकिन बिना किसी से कुछ पूछे आप सबको बता सकते हैं कि किसको कितने भाई-बहन, मौसा-मौसी या बेटे-बेटियाँ हैं ? यकीन मानिए, कोई आपकी बात पर विश्वास नहीं करेगा।
विधि (method) :- जिन दर्शकों को भाई-बहन, मौसा-मौसी या बेटे-बेटी की संख्या (number) बताना हो उन्हें आप मन ही मन निम्न निर्देशों के अनुसार गणना Calculation करने के लिए कहें। भाई की संख्या (number) में 2 जोड़ें। जितना हो, उसको 2 से गुणा (multiply) करें। अब जितना हो, उसमें 1 जोड़ें (add) अब उसको 5 से गुणा (multiply) करें और अंत में बहन की संख्या (number) जोड़ (add) दें। भाई या बहन दोनों में से कोई एक नहीं हो तो उसे 0 मानकर क्रिया करें (गणित Maths की भाषा में उसे 0 भाई या 0 बहन माना जाएगा। बेटे-बेटी की संख्या (number) बताने के लिए इस निर्देश में भाई के स्थान पर बेटा और बहन के स्थान पर बेटी को रखकर क्रिया करें। उसी तरह मौसा को भाई की जगह एवं मौसी को बहन की जगह रख लें। शेष (remainder) सारी क्रियाएँ पूर्ववत रहेंगी। आप उनसे यह संख्या (number) पूछ लें और मन ही मन उसमें से 25 घटा लें घटाने (subtract) के बाद बची संख्या (number) का इकाई अंक (ones digit) वहन (sister) या बेटी की संख्या (number) और दहाई अंक (tens digit) भाई, मौसा-मौसी या बेटा की संख्या (number) होगी।
जैसे माना कि किसी आदमी को 4 भाई एवं 3 बहन या 4 बेटे और 3 बेटियाँ है। आपके निर्देशों के मुताबिक गणना करने पर वह 4 +2= 6,x2 = 12.+1 =13, x5=65 +3 = 68 बताएगा। 68 में से जब आप मन ही मन 25 घटाएँगे (subtract) तो आपको 43 मिलेगा। अतः 3 बहन या बेटी और 4 भाई या बेटा हुए। है न कमाल की बात।
नोट:- अगर किसी आदमी के भाई या बहन किसी एक की संख्या दो अंकों में है तो जिसकी संख्या दो अंको में है पहले उसमें 2 जोड़ने को कहें। अगर दोनों की संख्या दो अंकों में हो जैसे 15 भाई, और 12 बहन तो आप 25 घटाने के बाद बाकी संख्या के इकाई अंक के पीछे 1 लगाकर बहन की संख्या बोलें। तथा दहाई व सैकड़ा पर मौजूद संख्या से 1 घटाकर बाकी बची संख्या को भाई की संख्या बोल दें।
जैसे-15 भाई व 12 बहनों वाला आदमी आपको 15+2 =17x2 = 34+1 = 35x5 = 175+12 = 187 बताएगा। आप जब 187 में से 25 घटाएंगे तो आपको 162 बचेंगे। आप 162 के इकाई यानी 2 से पहले 1 लगाकर 12 बहन बोलें तथा 162 के ही दहाई व सैकड़ा पर मौजूद संख्या यानी 16 में से 1 घटाकर 16-1=15 भाई बता दें। आप भाई बहन की संख्या बताने से पूर्व ऐसे लोगों को यह कहकर Calculation करने से मना कर देंगे कि आप उन्हें उनके भाई बहनों की संख्या बाद में बताएंगे।
4. फोन नम्बर (Phone No.) पूछ कर उम्र (age) बताना:-
जिन दर्शकों को उनकी उम्र (age) बतानी हो उन्हें निम्न निर्देशों के मुताबिक क्रिया करने को कहें।
आप उसका योगफल ( sum) पूछ लें और उसमें से 25 घटाकर (subtract) उसकी उम्र (age) बता दें। खुद देखिए, 53 में से 25 घटाकर (subtract) 28 आता है कि नहीं। इस उदाहरण (example) में मैंने यही उम्र मानी थी। अगर 25 घटाने (subtract) के बाद आपको उम्र (age) नहीं प्राप्त होता है तो इसका अर्थ है कि उस आदमी ने कहीं गलती की है।
5. बिना कलेण्डर देखे हुए कलेण्डर में चुनी गयी तारीखें (dates) बताना :
दर्शकों के सामने एक बड़े बोर्ड पर एक कलेण्डर बना दें। इसमें से ऊपर नीचे या दायें-बायें (right-left) किसी भी पंक्ति (row) में कोई तीन लगातार तारीखें (date) चुनने के लिए कहें। आप उनसे कहेंगे कि आप उससे बिना पूछे उसके द्वारा चुनी गयी तारीखें बता देगें तो कोई विश्वास नहीं करेगा, मगर आप ऐसा कर सकते हैं।
विधि (method) :- आप दर्शकों को उनकी चुनी गयी तारीखों (date) का योगफल (sum) बताने के लिए कहें। आप उस संख्या (number) को तीन से भाग (divide) करेंगे तो आपको बीच की संख्या (number) प्राप्त होगी। अब अगर दायें-बायें (right-left) जोड़े (add) हुए है तो बीच की संख्या (number) से एक घटाने (subtract) पर पहली संख्या (number) और उसमें 1 जोड़ने (add) पर तीसरी संख्या यानी तारीख date आपको मालूम हो जाएगी। अगर दर्शक ने ऊपर-नीचे की पंक्ति (row) में घेरा है तो बाकी तारीखें dates मालूम करने के लिए आप उसमें बीच की तारीख date से 7 घटाएं (subtract) और 7 जोड़ें। जैसे इस उदाहरण (example) के मुताबिक वह 17,18,19,
जोड़े (add) या 11,18, 25, हर हाल में योगफल (sum) 54 आएगा। 54 में 3 से भाग करने पर 18 आएगा। आप देखे रहे हैं कि 18 बीच में है, अतः 18 में से 1 घटाकर (subtrac) 17 और 18 में 1 जोड़ने (add) पर 19 प्राप्त हुए। इस तरह 17,18, एवं 19 तारीख (add) आप आसानी से बता सकते हैं।
6. कलेण्डर पर एक और करिश्मा :- आप अपने दर्शकों को कहीं भी 9 खानों का कोई वर्ग square बना लेने को कहें। आप उससे कहें कि अगर अपने वर्ग (square) की सबसे छोटी तारीख (dates) वह बता देगा तो आप शेष तारीख (dates) और उन सभी का योगफल (sum) भी बता देंगे। यह जादू अधिक दिलचस्प है क्योंकि पहले वाले जादू में वह तारीखों (dates) का योग (sum) बताता था तो आप तारीखे (dates) बताते थे, परन्तु इस जादू वह केवल में एक तारीख बताएगा तो आप एक दो कौन कहे, शेष आठ तारीखें (dates) और उनका योग (sum) बता सकते हैं। है न, दिलचस्व बात?
विधि:- योगफल (sum) बताना एकदम आसान काम है। आप उसकी सबसे छोटी तारीख (date) में 8 जोड़,
(add) कर उसे 9 से गुणा 1 (multiply) कर दें। यही सभी 9 8
तारीखों (dates) का योगफल 15 (sum) होगा। जैसे इस उदाहरण 22 (example) के अनुसार इस वर्ग (square) का योग (sum) 9+8= 17 x 9 = 153 होगा। खुद देख लें। रह गयी बात शेष (remaider) तारीखें (dates) बताने की तो पहले के नियम (rule) का उपयोग कर पहली पंक्ति (row) में 9, 10, 11, दूसरी पंक्ति (second row) में 16, 17, 18, (ध्यान रहे 16 आपको 9 में 7 जोड़ने add पर आया क्योंकि ऊपर से नीचे के क्रम में संख्याएँ 7 के अंतर difference पर हैं) एवं तीसरी पंक्ति (row) में 23,24,25, आसानी से बता सकते हैं।
गणितीय भूलों के आश्चर्यजनक परिणाम की गलतियाँ
जैसा कि हम शीर्षक के अन्तर्गत चर्चा कर चुके हैं कि गणितीय तथ्यों को गलत ढंग से प्रस्तुति के कारण ही ऐसा भ्रम उत्पन्न होता है। अतः इस शीर्षक के अन्तर्गत जितनी भी चीजें बतायी गयी हैं उनमें से प्रत्येक में कुछ न कुछ भूल हुई है। आइए हम उन भूलों को एक-एक कर जानें
इसमें 100 पैसा को 10 पै. x 10पै. लिखकर दिखाया गया है जो बिल्कुल गलत है। हम सभी जानते हैं कि किसी संख्या या राशि को उसी संख्या या राशि से गुणा करने पर प्राप्त परिणाम उसका वर्ग कहलाता है। जैसे मीटर x मीटर = वर्गमीटर या मी. 2 उसी तरह 5x5 = 52 होता है। हम 100 को तो 10 x 10 तो लिख सकते हैं लेकिन 100 पै. को 10पै. x 10पै. नहीं लिख सकते। क्योंकि जिस तरह 4ax4a = 16a हो जाता है उसी तरह 10पै. x 10पै. = 100 पै.? या 100 वर्ग पैसा हो जाएगा। आप जानते हैं कि 1रू = 100 पैसा होता है, 100 वर्ग पैसा नहीं।
हाँ, हम 100 पै. को 10 पै. x 10 या 10 x 10 पै. अवश्य लिख सकते हैं और ऐसा लिखने पर कभी भी 1 रु. को 1पै. के बराबर साबित नहीं किया जा सकता।
इसमें दो-दो गलतियाँ एक साथ हुई हैं। सबसे बड़ी गलती वर्ग हटाने के सम्बन्ध में हुई है। यहाँ (4-9/2)2 = (5- 9/2)2 में दोनों का वर्ग हटाकर(4-9/2)= (5- 9/2) लिखने में है। ऐसा तभी किया जा सकता है जब दोनों समीकरणों (eqn.) में दोनों पदों का मान एक हो। जैसे अगर (x-y)2 = (p-q)2 लिखा हुआ है, तो यह तभी संभव है कि x एवं p तथा y एवं q दोनों का मान एक ही हो। अगर दोनों का मान एक नहीं है तो हम वर्ग हटाकर उन्हें x y=p-q नहीं लिख सकते।
यहाँ आप देख रहे हैं कि 49 एवं 59 में इन दोनों का मान अलग-अलग है, अतः हम यहाँ वर्ग नहीं हटा सकते। हाँ, दर्शकों को भरमाने के लिए आप ऐसा कह सकते हैं कि माना कि (4-9/2= x एवं 5-9/2 = y तो व्यंजक = x2 = y2 और इस तरह से दोनों का वर्ग हटाने पर x =y लिखा जाएगा लेकिन यह गलत है।
इसमें एक गलती और की गयी है। हम जानते हैं कि रूट 18 यानी 18 का वर्गमूल 4 एवं - 4 दोनों होता है। क्योंकि 42 = 16 एवं (-4)2 भी 16 ही होता है। उसी तरह रूट 25 का मान 5 एवं 5 दोनों होता है। अगर हम इन समीकरणों में 16-9/2+81/4 को (-5 -9/2)2 लिखें तो इस स्थिति में 4 = - 5 होगा।
3. एक ही सवाल को दो सही किन्तु अलग तरीके से बनाकर दो अलग उत्तर प्राप्त करना :
यहाँ सवाल को जिन दो तरीकों से बनाया गया है उनमें तरीका तो दोनों सही है परन्तु उत्तर एक ही सही है। ऐसा इसलिए हुआ है क्योंकि जब हमने x2 - 16/x-4 को x2 - 42/x-4 के रूप में लिखकर उसे (x+4)(x-4)/x-4 करके (x-4) को (x-4) से काटा है तो हमने यहाँ भयंकर भूल की है। हम जानते हैं कि किसी भिन्न को लघुतम रूप (reduced form) में लिखने के लिए उसके हर (denominator) एवं अंश (numerator) को उनके (common divisor) (समापवर्तक) से काटते हैं लेकिन ऐसा करना तभी संभव है जब उस भिन्न के हर एवं अंश दोनों में से कोई नहीं है। 0/0 का मान अभी तक अपरिभाषित है। x-4/x-4 में हर एवं अंश दोनों का मान 0 है, अतः हम x 4 को x 4 से नहीं काट सकते।
अगर हम (x-4) को (x-4) से नहीं काटें और (x+4)(x-4)/x-4 में x का मान बैठाएँ तो इस तरीका से भी उत्तर 0/0 ही आएगा जो कि सही है।
7. नौ (nine) खानों का जादू का वर्ग (Magic square) बनाना:
जब वर्ग (square) की बात हुई तो आइए हम आपको जादू का वर्ग (square) बनाना सिखाते हैं। जादू का वर्ग एक ऐसा वर्ग (square) होता है जिसमें आड़ी-तिरछी किसी भी तरह एक सरल रेखा की पंक्ति (row) में बनी संख्याओं (number) का योगफल (sum) समान होता है। समाचार पत्रों में और पाठ्य पुस्तकों में इसे आपने अवश्य ही देखा और पढ़ा होगा।
सबसे पहले आप एक बात अच्छी तरह समझ लें कि जादू का वर्ग (square) हमेशा लगातार या समानान्तर संख्याओं से बनता है। लगातार या समानान्तर संख्याओं (number) से मेरा मतलब केवल 1,2,3, या 5,6,7, 8, नहीं है 9,14,19, इत्यादि भी लगातार या समानान्तर संख्याएँ (numbers) कहलाती हैं क्योंकि इनके बीच समान अंतर (difference) है। आइए पहले हम 9 खानों का वर्ग बनाना सीखते हैं।
विधि (method) :- पहले 3-3 के क्रम में उन संख्याओं (number) को सजा लें जिनका वर्ग (square) बनाना है। जैसे माना कि मुझे 5 से शुरू कर 4 4 के अंतर (difference) पर संख्याएँ (numbers) रख कर वर्ग (square) बनाना हैं। इस क्रम में 37 हमारी सबसे बड़ी संख्या (number) होगी।
अब दायें बायें (right-left) तिरछी लकीरें खींचकर पहले 5 को फिर 17 एवं 9 को इसके बाद 29,21, एवं 13 को एवं सबसे अन्त में 33 और 25 को घेरें फिर ऊपर-नीचे तिरछी लकीर पहले 29 के नीचे, फिर 17 एवं 33 के नीचे अब 21 के .नीचे और अंत (difference) में 9 एवं 25 के नीचे खीचें। इस तरह आपको 9 खानों
का एक वर्ग (square) बन गया जो तिरछा है। इसे सीधा कर लें। अब आप गौर करें 5,13,37 एवं 29 वर्ग (square) के बाहर हैं। आप उन्हें उलटे क्रम में भर दें। जैसे 37 को 5 के नीचे वाले खाने में एवं 5 को 37 के ऊपर वाले खाने में भर दें। इसी तरह 29 को 13 के बगल वाले खाने में एवं 13 को 29 के बगल वाले खाने में भर दें। इस तरह आपका वर्ग (square) तैयार हो गया।
8.16 खानों का जादू का वर्ग (square) बनाना:
संख्याओं (number) को 4-4 के क्रम में सजा लें। एक बड़े से गुणा (multiplication) के चिह्न (sign) के द्वारा उसे कोना-कोनी काट दें। अब सोलह खाना का एक वर्ग (square) बनाकर उसमें पहले बिना कटे हुए अंकों (digits) को ज्यों का त्यों भर दें। फिर लकौर द्वारा कटी हुई संख्याओं को उलटे क्रम में भर दें। जैसे 1,6, 11 एवं 16 के बदले 16, 11,6,1 एवं 4, 7, 10,13 के बदले 13, 10.7 एवं 4 भर दें। इस तरह आपका जादू का वर्ग (square) तैयार हो गया।
9. बिना कलेण्डर देखे दिन बताना :-
आप से अगर पूछा जाय कि 15 अगस्त 1947 को कौन सा दिन था, तो इसे मालूम करना आपके के लिए एक कठिन समस्या हो जाएगी। आप बिना 1947 का कलेण्डर देखे इसे बताने में असमर्थ हो जाएँगे। अगर आप कैलकुलेशन करने लगे तो घण्टों लग जाएंगे, क्योंकि इतना पुराना कैलकुलेटर या डायरी तो आपके घर में मिलने से रही लेकिन आइए, हम आपको एक ऐसी तरकीब बता रहे हैं जिसके द्वारा आप आज से पाँच सौ हजार वर्ष पहले या बाद, ईसा से पूर्व या ईसा के बाद किस महीने की किस तारीख को कौन सा दिन था या होगा, बड़ी ही आसानी से बता सकते हैं। इस सूत्र को जानने से पहले आप यहाँ दिये हुए महीनों एवं दिनों के कोड बढ़ियाँ से अभ्यास कर लें।
| महीनों का कोड | दिनों का कोड |
|---|---|
| जन० 2 मई० 3 सित० 7 | रवि० 2 वृ० 6 |
| फर० 5 जू 6 अक्टू० 2 | सोम० 3 शु० 0 |
| मा० 5 जू० 1 नव० 5 | मंग० 4 शनि० 1 |
| अप्रै० 1 अग० 4 दिस० 7 | बुध० 5 |
सूत्र:- सन् + सन् भागा 4 से भागफल में प्राप्त संख्या number + तारीख (date) + महीने का कोड
इन सबों के कुल योग (sum) में 7 से भाग remainder देने पर जो शेष (remainder) बचेगा वह निश्चित रूप से किसी न किसी दिन का कोड होगा जैसे 15 अगस्त 1947 को ही लेते हैं। सूत्र के अनुसार 47 (सन्) +11 (47+ 4 का भागफल) +15 (ता०) +4 (अगस्त का कोड) = 77 आता है। 77 में 7 से भाग divide देने पर 0 शेष बच है, जो शुक्रवार का कोड है। अतः 15 अगस्त 1947 को शुक्रवार था।
नोट :- लीपईयर के भवरी व फरवरी महीनों में दिन निकालने के लिए कुल योगफल (sum) में से 1 घटा (subtract) 7 से भाग (divide) दें। लीपईयर के शेष महीनों के लिए नियम पूर्ववत रहेंगे।
एक विशेष बात और, अगर आपको २०वीं शताब्दी के बाद या पहले की शताब्दियों के वर्ष में दिन निकालना हो तो इस नियम में थोड़ा संशोधन करना होगा। अगली शताब्दियों का दिन निकालना हो तो उतने अंक (digit) को कुल योगफल (sum) से घटाकर (subtract) 7 से भाग (divide) दिया जाता है। जैसे अगर 22 वीं शताब्दी का दिन निकालना हो तो कुल योगफल से २ घट subtract जाएगा और अगर १६ वीं शताब्दी का दिन निकालना हो तो कुल योगफल (sum) में 4 जुट add जाएगा क्योंकि पिछली शताब्दियों का दिन निकालने के लिए अंक जोड़ा (add) जाता है।
10. बिना घड़ी देखे समय (time) बताना:
विधि (method): जिस आदमी को समय बताना हो उसे पहले घड़ी के सूइयों के बीच कब कितने डिग्री का कोण (angle) बनता है, यह देखना सिखा दें और फिर उससे तीन प्रश्न पूछें:
माना कि वह छोटी सूई 12 पर दोनों के बीच 30 x 3 = 90° का कोण एवं बड़ी सूई, छोटी सूई के बाद (घड़ी की दिशा में) बताता है तो आप आसानी से उसे सवा बारह quarter past twelve बता सकते हैं। 12 क्योंकि छोटी सूई तो आपको पहले से ही मालूम है। 
दोनों सूइयों के बीच 90° का कोण मालूम होने से आपको यह भी मालूम हो गया है। कि बड़ी सूई कहाँ पर है दोनों के बीच 90/30 = 3 खाड़ियों step का अंतर difference है)। और तीसरे प्रश्न से मालूम हुआ कि यह अंतर आगे की ओर है। चूंकि 12 के तीन स्टेप बाद 3 आता है अतः बड़ी सूई ऊपर होगी। इस तरह आपको दोनों सूई मालूम हो गये और आपने आसानी से सवा बारह कह दिया। यह खेल देखने में आसान लगता है लेकिन बच्चों के बीच यह ज्यादा असरदार होगा।
11. बिना गिने (count) ताश की गड्डी में ताश की सही संख्या (number) बताना :-
अगर आपको ताश की गड्डी में से बिना गिने कुछ ताश काटकर बताने को कहा जाय कि अब गड्डी में कितने ताश बचे हैं, सही-सही बताइए आपके लिए यह एक मुसीबत का काम होगा, लेकिन आप बिल्कुल सही-सही बता सकते हैं।
एक नई ताश (ज्यादा पुरानी नहीं हो) की गड्डी लें। उसे दर्शक को देकर उच्छी तरह मिला (फेंट) देने को कहें दर्शकों को समझा दें कि आपके जाने के बाद वह जितनी बार चाहे ताश को फेंट दे और फिर उसे दो भागों में बाँट दे। अब वह बड़ी वाली गड्डी में ताशों की संख्या (number) गिन ले और गिनने के बाद जितनी संख्या (number) है उसके अंकों (digits) को जोड़ add कर (जैसे-14 ताश हैं तो 1+4 = 5 ) उतने ताश निकालकर छोटी गड्डी में मिला दे। इतना सब वह कर चुके तो आप आकर आसानी से कह सकते हैं कि उस ताश (बड़ी गड्डी) की गड्डी में कितने ताश हैं।
विधि (method) :- आप बड़ी गड्डी को देखकर अन्दाज लगाएँ कि इसमें अधिकतम कितने ताश हो सकते हैं। अगर आपके अन्दाज से यह संख्या (number) 10 से 20 के बीच हो तो आप 18 पत्तियाँ, 20 से 30 के बीच हो तो 27 पत्तियाँ, 30 से 40 के बीच हो तो 36 पत्तियाँ एवं 40 से 50 के बीच हो तो 45 पत्तियाँ बताएँ। विश्वास करें, आप जितना बताएँगे उतने ही ताश गड्डी में मौजूद होंगे बशर्ते उस दर्शक ने आपके निर्देशों (directions) का, ठीक-ठीक पालन किया हो।
माना कि उसने ताश को दो भागों (divide) में बाँट कर बड़ी वाली गड्डी को गिना तो उसे 46 कार्ड हुए। वह आपके निर्देशानुसार इस 46 कार्ड में से 4 +6 यानी 10 कार्ड निकालकर छोटी वाली गड्डी में रख देगा। इस तरह अब बड़ी गड्डी में 46-10=36 कार्ड बच गये। जब आप इस गड्डी को देखेंगे तो आसानी से समझ सकते हैं कि इस गड्डी में 30 से अधिक परन्तु 40 से कम ताश होंगे। अतः आप 36 ताश आसानी से बता सकते हैं। यह गणित का ही जादू है क्योंकि यह ट्रिक खुद-ब-खुद काम करता है। ध्यान रहे, आप ताश की संख्या (number) हमेशा 9 के अपवयों (multiple) जैसे-9, 18,27,36, एवं 45 ही बताएँगे। अगर इस जादू को किताब व डिक्शनरी लेकर दिखाएं तो और ज्यादा मजा आएगा।
12. गिनती के आधार पर ताश की पत्ती निकालना :-
आप किसी एक रंग की 13 पत्तियाँ एक्का से दहला, गुलाम, बीबी, एवं बादशाह निकाल कर उन्हें सजाकर (एक तरफ से) दर्शकों को दिखा दें। जब सारे पत्ते दर्शक देख चुके तो जान बूझकर दो-चार पत्तियों को मेज पर गिरा दें। अब उन गिरे हुए पत्तियों की मदद से अपने हाथ में ताश की पत्तियों को इस तरह सजा लें कि उनका क्रम इस तरह हो जाय 3,8,7,A, Q, 6, 4, 2, J, K, 10,9,5, अर्थात 3 = तिग्गी, 8 = अट्ठा, उसी तरह Q= रानी (बेगम) J = गुलाम इत्यादि। अब इन सबों को एक साथ समेट कर हाथ में इस तरह रखें कि इनका क्रम टूटे नहीं। अब आप one से स्पेलिंग शुरू करें। O बोलकर ऊपर से एक पत्ती नीचे करें। N बोलकर फिर एक पत्ती नीचे रखें। इस तरह one की spelling करते हुए आप ऊपर से एक-एक कर तीन पत्ती नीचे रख देंगे और चौथी पत्ती को जब आप पलटकर दर्शकों को दिखाएँगे तो वह हैरान रह जाएगा कि यह पत्ती एक्का (A) है। अब इसे हटाकर अलग कर दें। अब फिर उसी तरह Two का Spelling करें और एक-एक अक्षर के लिए ऊपर से एक-एक पत्ती नीचे रखते जाएँ। जब Two के लिए भी one की ही तरह तीन पत्ती आप नीचे रख देंगे और अगली यानी चौथी पत्ती जब दर्शकों को दिखाएँगे तो वह देखकर हैरान रह जाएगा कि यह दुग्गी (2) की पत्ती है। इसी तरह क्रमश: Spelling चालू रखें और जब Spelling खत्म हो जाए तो अगली पत्ती दिखाकर उसे हटाकर रखते जाएँ । याद रखें three में 5 अक्षर हैं। यह भी याद रहे कि दहला यानी Ten के बाद क्रमश: Jack, King और फिर Queen की गिनती होगी।
13. बिना देखे सवाल (sum) का उत्तर (answer) बताना:-
आप अपनी बायीं हथेली (left Palm) में 1089 की संख्या (number) लिख लें। इसे मुट्ठी बंद कर छुपाये रखें। अब दर्शकों में से किन्ही तीन को 1 से लेकर 9 तक कोई तीन अलग-अलग अंक (digit) लिखाने के लिए कहें। आप उन तीनों अंकों (digits) को पलटकर एक दूसरी संख्या (number) बना लें अब बड़ी में से छोटी को घटा (subtract) लें। इसके बाद इन दोनों संख्याओं (numbers) के अंतर (difference) (शेष remainder के रूप में प्राप्त संख्या number) को उलटकर (reverse) उसके नीचे लिख दें और दोनों को जोड़ add दें। यह हमेशा 1089 आएगा। अब आप अपने दर्शकों से पूछें कि क्या आपने जो तीन अंकों (digit) की संख्या (number) मुझे लिखाई हैं वह मुझे मालूम थी। निश्चित रूप से दर्शक नहीं कहेंगें क्योंकि इससे जानने का सवाल ही नहीं पैदा होता है। अब दर्शकों से अगला प्रश्न करें कि जब मुझे पहली वाली संख्या (number) नहीं मालूम थी तो क्या बाकी सारी संख्याएँ (numbers) मालूम हो सकती हैं? क्योंकि सभी संख्याएँ (numbers) सम्बन्धित हैं। लेकिन आपको उत्तर (answer) के रूप में प्राप्त संख्या (number) मालूम था। जिसका अर्थ है कि सवाल भी आपको मालूम था। न विश्वास हो तो देख लें। अपनी हथेली खोल कर दिखा दें। दर्शक हैरान हुए बिना नहीं रह सकेंगे। दरअसल यह तीन अंकों (digits) का चमत्कार है। आपने इसमें कुछ नहीं किया।
अगर दर्शक संख्या (number) में 0 लिखाये तो आप 0 को हमेशा दहाई (Tens) या इकाई (ones) पर ही रखेंगे क्योंकि अगर तीन अंकों (digit) की संख्या में 0 को सैकड़ा (hundred) पर रखेंगे तो उसे तीन अंकों (digits) की संख्या नहीं मानी जाएगी। ध्यान रहे 0 को तभी संख्या (number) माना जाता है जब तक कि उसकी बायी (left) ओर 1 से 9 तक का कोई अंक (digit) हो। इसके आभाव में 0. महत्त्वहीन है। अगर आपको अंतर (difference) के रूप में कभी 99 प्राप्त हो तो आप घटाते (subtract) समय सैकड़े (hundred) के स्थान पर (x के बदले 0 लिखेंगे और इस तरह जब उलट कर जोड़ने (add) की बारी आये तो 990 को नीचे लिखकर जोड़ें (add) । दर्शक अगर आपको ऐसा करने से रोके तो आप कहें कि मुझे तीन अंक लेना था। आप बतायें 0 के अलावे में क्या ले सकता था ?
14. सवाल (sum) अलग पर उत्तर (answer) सबों का एक ही:
दर्शक से पूछें कि क्या मुझे पता है कि आपने दो अंकों (digits) की कौन सी संख्या (number) लिखी है। निश्चित रूप से उनका जवाब न में ही होगा। लेकिन आप कहेंगे कि आपका (दर्शक) उत्तर (answer ) 9 है तो दर्शक हैरान रह जाएगा। यह आपका नहीं, संख्याओं (number) का चमत्कार है। दो अंकों (digits) की कोई भी संख्या (number) लेकर जब उपर्युक्त विधि (method) से क्रिया की जाएगी तो उत्तर (answer) हर हाल में 9 ही आएगा जो केवल आपको पता है।
माना कि दर्शक ने पहले 84 लिखा था तो उसे उलटकर 48 बनाया। अगर वह 48 लिखता तो पलटने पर 84 प्राप्त होता। अब बड़ी से छोटी यानी 84 से 48 घटाने (subtract) पर 36 प्राप्त हुआ। 84 में 8 एवं 4 का अंतर (difference) 8-4= 4 हुआ अतः 36 को 4 से भाग (divide) दिया गया। अगर कोई दूसरा दर्शक शोर करने लगे कि मुझे भी उत्तर (answer) बताइए तो उसे यह जादू दुबरा नहीं दिखाएँगे नहीं तो आपका जादू पकड़ाने का डर रहेगा। इस तरह के अन्य जादुओं को आप अपने दिमाग पर जोर देकर खुद भी बना सकते हैं।
15. बिना पूछे फोन न० बताना:-
आप अपने दर्शकों से इसी विधि (method) (14 की तरह क्रिया करवा कर उसमें अपना फोन न० जोड़ कर बताने को कहें। वह जो संख्या (number) बताए उससे मन ही आप 9 घटाकर (subtract) उसको बता दें। यही निश्चित रूप से उसका फोन न० होगा। आप इसे 4 थे trick की मदद से भी दिखा सकते हैं। जब वह चौथे ट्रिक में चार स्टेप कर लें यानी अंतर के अंकों को जोड़कर एक अंक बना लें तो उसे (दर्शक को) आप इस अंक में अपना फोन नं० जोड़ देने को कहें। फिर उसे अपने योगफल में 16 जोड़ने को कहें आप उससे यह संख्या पूछ लें। वह जो संख्या बताये उसमें से मन ही मन 25 घटा कर उसका फोन नं० बता दें।
अतः इस किताब में जो कुछ भी जादू दिये गये हैं वे तो गणित के साधारण खेल भर हैं। इन्हें दिखाने या सिखाने का मेरा एकमात्र उद्देश्य गणित के प्रति आपकी अभिरूचि को जगाना है। जादू को जानना एक अलग बात है और उन्हें सफलता पूर्वक दिखाना एक अलग बात है। जादू का सफल प्रदर्शन जादूगर की अपनी Persence of mind एवं उसके अभ्यास पर निर्भर करता है। अतः इन जादुओं को सफलतापूर्वक दिखाने के लिए आपको छोटी-मोटी गणनाएँ (calculations) जल्द से जल्द मुँहजुबानी करने की आदत डालनी होगी। क्योंकि अगर आपने लिखकर गणना करने की कोशिश की तो जादू का रहस्य खुल जाएगा। अगर आपने गणना करने में ज्यादा देर लगायी या गलत गणनाएँ कर डाली तो सारा मजा किरकिरा जाएगा। अतः इन जादुओं को दिखाने से पहले आप Oral Calculations का Expert बनने की कोशिश करें। औरों से अलग दिखने के लिए आपको कुछ अतिरिक्त मेहनत तो करनी ही होगी। यथासंभव मैंने आपको इसे सफलतापूर्वक दिखाने की तरकीब भी बता दी है लेकिन आप अपनी बुद्धि का उपयोग कर इसे और भी असरदार तरीके से दिखा सकते है।
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