Wonderful result of simple mathematical mistakes ( सामान्य गणितीय भूलों के आश्चर्यजनक परिणाम)

यूं तो गलती किसी भी विषय में अच्छी नहीं मानी जाती परन्तु Maths. में तो इसके भयंकर परिणाम देखने को मिलते हैं। अगर आपने गणितीय तथ्यों को ठीक से नहीं समझा है तो गणितीय तथ्यों (mathematical facts) की गलत ढंग से प्रस्तुति (presentation) या व्याख्या (explanation) को देखकर आपको अपने गणित ज्ञान पर से ही विश्वास उठने लगेगा। अतः इनके बारे में आपको बताने का उद्देश्य मुझे आपको गुमराह करना (deviate) नहीं है बल्कि आपको ऐसे खत सावधान करना है, क्योंकि अन्य विषयों में अगर आप गलतियाँ करेंगे तो उनको तो नजरअंदाज भी किया जा सकता है, परन्तु Maths. Teacher इतने बेदर्द होते हैं। कि वे आपकी छोटी सी भी गलती को भी माफ करने को तैयार नहीं होते। जैसे- मान लिजिए महात्मा गाँधी पर आपको एक लेख लिखना है जिसके लिए 10 अंक है। अगर आपने महात्मा गाँधी का जन्म पोरबंदर की जगह गलती से पोरबुदूर (जहाँ राजीव गाँधी की हत्या हुई थी) भी लिख दिया तो वे (हिन्दी शिक्षक) आपके पूरे 10 अंक नहीं काटेंगे। लेकिन अगर Maths. में केवल (+) के बदले (-) लिख दिया तो गणित शिक्षक आपके सारे अंक (जो उस प्रश्न के लिए निर्धारित है) खा जाएंगे। अतः गणितीय तथ्यों को भली-भांति समझने और उनके बारे में अधि क से अधिक गहराई से अध्ययन करने को प्रेरित करने के उद्देश्य से ही मैं यहाँ इन चीजों को आपको सिखा रहा हूँ।

1. 1 रु. = 1 पैसा साबित करना ( To prove 1 Rupee = 1 Paisa)

हम सभी जानते हैं कि 1रु. = 100 पैसा होता है। लेकिन जिस गणित में आपने 1 रु. = 100 पैसा सीखा है उसी गणित से मैं आपको 1रु. = 1 पैसा सावित दिखा रहा हूँ। जैसा कि आपको पहले बताया जा चुका है कि यह गलत है. लेकिन जब तक आप इस गलती को ढूंढ़ नहीं लेंगे, आप इसे सही ही माग न? अतः इसके प्रत्येक steps को ध्यान से देखिए और इसमें गलती ढूंढने का प्रयास करें। अगर नहीं ढूंढ़ सके तो इसी पुस्तिका में इसका उत्तर ढूंढिए।

चूँकि 1रू. = 100 पैसा

R.H.S या 10 पैसा X 10 पैसा (100 को 10X10 लिखा जा सकता है) या ¹/₁₀ रु. (10 पैसा 1रु. का दसवां भाग होता है अत: इसे ¹/₁₀ रु.लिखा) या ¹/₁₀₀ रु. चूँकि ¹/₁₀₀ रु. = 1 पैसा अतः 1रु. = 1 पैसा proved

2. 2X2 = 5 साबित करना:

सभी जानते हैं कि 2 x 2 = 4 होता है लेकिन यहाँ मैं आपको 2X2 = 5 साबित करना सिखाता हूँ।

हम जानते हैं कि 20 = 20 होता है अतः - 20 = 20 होगा। इसे हम 16-36 = 25-45 लिख सकते हैं क्योंकि दोनों का मान 20 ही होगा दोनों तरफ ⁸¹/₄ जोड़ने पर 16 - 36 +⁸¹/₄ = 25-45+⁸¹/₄ या (4 - ⁹/₂)² = (5 - ⁹/₂)² (दोनों को तोड़कर आप देख लें) दोनों तरफ का वर्ग हटा देने पर (4-⁹/₂) = ( 5 - ⁹/₂) होगा। या 4-⁹/₂ +⁹/₂ = 5 या 4-0 = 5 या 4 = 5 अतः 2 X 2 = 5 proved.

3. किसी भी संख्या (number) को किसी भी संख्या (number) के बराबर साबित करना:-

जिस तरह मैंने 4 को 5 के बराबर साबित करके दिखाया उसी तरह आप किसी भी संख्या (number) को किसी भी संख्या (number) के बराबर साबित कर दिखा सकते हैं। अब समस्या यह है कि जिस तरह आपने 4 को 5 के बराबर साबित करने के लिए दो समीकरण eqn. 16-36=25-45 लिया था, उसी तरह किसी संख्या (number) को किसी अन्य संख्या (number) के बराबर साबित करने के लिए, समीकरण (eqn) किस तरह प्राप्त किया जाय? सबसे पहले आप एक बात पर गौर करें इन दोनों समीकरण (eqn.) का मान 20 है। उसी तरह आपको जिन दो संख्याओं (numbers) को बराबर करना है, उन दोनों संख्याओं (numbers) का गुणफल (product) ही ऋणात्मक (negative) रूप में उन दोनों संख्याओं (numbers) का मान होगा।

जैसे अगर 2 = 8 साबित करना है तो इन समीकरणों (eqns) का मान 2x8 =-16 होगा। अब दोनों समीकरणों (eqn.) का पहला पद term प्राप्त करने के लिए क्रमश: दोनों संख्याओं (numbers) का वर्ग (square) लिखें। दूसरा पद प्राप्त करने के लिए आप वही संख्या ऋणात्मक (negative) रूप में दोनों ओर लिखें ताकि आपके समीकरण का मान वही आये जो आपने निर्धारित किया है।

जैसे 2 को 8 के बराबर साबित (prove) करने के लिए समीकरण (eqn.) इस तरह होगा। 4-2064-801 अब रही बात दोनों समीकरणों (eqns.) में जोड़े (add) जाने वाले पद (term) की। यह भी आसान ही है। इसके लिए आप (दोनों संख्याओं numbers के योग का वर्ग प्राप्त कर लें। जैसे 2=8 साबित करने के लिए 4-20 = 10 64 - 80 में दोनों तरफ जोड़ी जाने वाली संख्या (2+ ⁸/₂)² =(¹⁰/₂)²=¹⁰⁰/₄ होगी। आप इतना याद रखें कि जब (-) के रूप में समीकरण (eqn.) को तोड़ना हो तो तीसरा पद (term) ही हर हाल में b² होगा।

4. एक ही सवाल को दो सही किन्तु अलग-अलग तरीकों से बनाकर दो अलग-अलग उत्तर प्राप्त करना :

आप जानते हैं कि किसी सवाल को कई तरीकों से बनाया जा सकता है। आप यह भी जानते हैं कि किसी सवाल को चाहे जितने तरीके से बनाया जाय, अगर वे तरीके सही हैं, और calculation में कोई mistake नहीं है, तो हर तरीके से उत्तर हमेशा एक ही होता है परन्तु यहाँ मैं आपको एक छोटे से सवाल को दो अलग-अगल तरीकों से बनाकर दोनों से अलग-अलग उत्तर प्राप्त करके दिखा रहाहूँ। आपको यह तय करना है कि दोनों में से कौन सा तरीका या उत्तर गलत है।

प्रश्न- यदि x = 4 तो ^(x²-16)/_x-4 = ? पहली विधि:- सवाल में x का मान रखने पर ^(4²-16)/_4-4 = ^(16-16)/_4-4 = ⁰/₀ यानी अनंत या अपरिभाषित
दूसरी विधि (method): ^{x² - 16}/_x-4 = ^[x]²-[4]²/_4-4 माना कि x = a एव 4 = b तो व्यंजक (expression) ^a²-b²/_a-b = ^[a+b]-[a-b]/_a-b अतः ^[x]²-[4]²/_4-4 = ^(x+4)(x-4)/_x-4 अब [a+b] में a एवं b का मान (value) देने पर [ x + 4 ] यानी [ 4 + 4 ] = 8 क्योंकि x = 4 दिया हुआ है।
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