गणित के चमत्कार (Miracles of Maths)

दोस्तों

, अंकों का संसार बहुत ही विचित्र है। एक ही अंक के हजारों-हजार गुणधर्म है। अगर किसी अच्छे पुस्तकालय या पुस्तक मेला में जाकर ढूंढने की कोशिश करें तो आपको अलग-अलग अंकों पर अलग-अलग किताबें देखने को मिलेगी। इन किताबों में आपको एक ही अंक की कई-कई विशेषताएँ पढ़ने को मिलेगी। आपको जानकारी के लिए कोभर पर प्रारम्भिक अंक 0 एवं सबसे बड़ा अंक 9 के बारे में कुछ रोचक बातें बतायी गयीं है। इस पुस्तिका के प्रारंभ में ही आपने 9 का एक विशेष गुण 9 हमेशा 9 होता है के बारे में पढ़ा। आपने पढ़ा है कि 9 के इस गुण के आध र पर गणित में कई चमत्कारिक कारनामें दिखाए जा सकते हैं। आइए अब हम अंकों के गुणधर्म के साथ-साथ Power of calcutation पर आधारित कुछ और चमत्कारिक कारनामें देखते हैं, जिन्हें सीख लेने के बाद आपको विश्वास हो जाएगा fan Maths is neither a sowrd, nor a gun, it is nothing but a fun. If you have interest in it यानी 'गणितं न तो बंदूक है, न है कोई तलवार, फिर तो यारों गणित से डरना है बेकार' अतः गणित के मामले में व्याप्त भय को दूर कर गणित अध्ययन के लिए अधिक से अधिक प्रेरित के उद्देश्य से ही मैं आपको इन्हें बता रहा हूँ जिन्हें सीखकर आपका मनोरंजन तो होगा ही साथ ही लोग आपकी प्रतिभा को लोहा भी मानने लगेंगे।

1. कम्प्यूटर से भी जल्दी जोड़ना :-

पहले आप अपने दर्शकों को पाँच या छह अंकों (five digits) की कुछ संख्याएँ जितनी बार वह लिखाना चाहे लिखाने के लिए कहें। जब आपके दर्शक पाँच-छह पंक्ति लिखा दर्शक चुके तो आप उससे बोलें कि आपको संख्या लिखाने में बहुत समय लगता है। आइए अब आपके बदले मैं ही लिखकर थोड़ा इसे और लम्बा-चौड़ा बना देता हूँ

अपनी ओर से संख्याएँ (numbers) लिखने के पहले आपको दर्शकों द्वारा लिखायी गयी संख्याओं में से किसी एक पंक्ति की संख्या को अपना बनाना होगा जिस पर इस जादू का रहस्य निर्भर करता है। key no. चुनने से पहले आप इस बात पर ध्यान दें कि आपके दर्शकों ने कितनी पंक्तियाँ (rows) लिखायी हैं। उसके द्वारा लिखायी गयी। पंक्तियों की संख्या 1 ही इस जादू का कोड होगा। जैसे दर्शकों ने यहाँ 5 पंक्तियाँ लिखायी हैं, इसलिए हमारा कोड

5-1= 4 हुआ।

आप जिस पंक्ति को key no, बनाएंगे उसकी इकाई पर कोड से कम अंक नहीं होना चाहिए। चूंकि इस जादू में हमारा Key No. 4 है अतः हम उसी पंक्ति को Key No, बनाएंगे जिसके इकाई पर 4 या उससे अधिक अंक हो। दर्शकों द्वारा लिखायी गयी संख्याओं में चौथी व पाँचवीं पंक्ति की इकाई (ones) पर क्रमश: 3 एवं 0 है, अत: हम केवल पहली से तीसरी पंक्ति की संख्याओं को ही अपना key no, बना सकते हैं। यहाँ हमने तीसरी पंक्ति की संख्या यानी 312468 को key no. बनाया है। अब आप key no. को छोड़ दें और बाकी सभी संख्याओं के बदले अपनी और से संख्याएं लिखना प्रारंभ करेंगे। अपनी ओर से संख्याएँ लिखने के लिए आप जिस पंक्ति के बदले अपनी पंक्ति लिखेंगे उस पंक्ति के अंकों (digits) को 9 में से घटाकर (subtract) उस अंक के नीचे लिखते जाएं। जैसे पाँचवी पंक्ति का जवाब छठी पंक्ति है। ध्यान दें, पाँचवी पंक्ति का इकाई 0 है। अतः हमने 9-09 को 0 के नीचे लिखा। उसी तरह पाँचवी पंक्ति का दहाई अंक 8 है अतः मैंने उसके नीचे 9-8 = 1 को लिखा। इसी तरह पूरी पंक्ति लिख दी गयी है। इसी तरह चौथी पंक्ति का जवाब सातवीं पंक्ति, दूसरी पंक्ति का जवाब आठवीं पंक्ति एवं पहली पंक्ति का जवाब नवीं पंक्ति है।

जब आपको संख्याएँ लिखा हुआ हो जाय तो आप उनके नीचे एक लकीर (line) खींच दें और अपने दर्शकों से पूछें कि मुँहजुबानी छोड़िए, अगर आपको कैलकुलेटर दे दिया जाय तो आप इसे जोड़ने में कम से कम कितना समय लेंगे? आपका कोई भी दर्शक 1 दो मिनट से कम का समय नहीं कहेगा। आप उनसे कहें कि मैं इसे अपने जादू से मुश्किल से तीन-चार सेकेण्डों में बनाकर दिखाता हूँ। आपके दर्शक आपके दावे पर भले ही विश्वास न करें, परन्तु आप इसे सचमुच तीन-चार सेकण्डों में जोड़कर उसे आश्चर्यचकित कर देंगे।

उत्तर लिखने के लिए आप अपने key no. के इकाई (ones) में से अपने कोड को घटावें। ध्यान दें, हमारे key no. का इकाई 8 है और हमारा कोड 4 है। अतः हमने 8 में से 4 घटाकर 8-4=4 को अपने उत्तर की इकाई पर लिखा है। अब key no. की इकाई को छोड़कर बाकी अंकों को वैसे ही लिख दें, और अपने उत्तर के अंत में कोड को लिख दें। बस, आपके दर्शक आपकी प्रतिभा का लोहा माने बिना नहीं रह सकेंगे।

इस जादू को जब मैं दिखाता हूँ तो इसे चेक करने के लिए मैं इसे इतनी तेजी से सही-सही जोड़कर दिखाता हूँ कि दर्शक मेरा मुँह देखने लगते हैं। इस जादू में उत्तर तो मैं भी ट्रिक से ही लिखता हूँ लेकिन जितनी तेजी से मैं इसे चेक करके दिखाता हूँ उसका कोई ट्रिक नहीं है। मैं भी वैसे ही जोड़ता हूँ जैसे आप जोड़ते हैं। लेकिन अभ्यास के दम पर मैंने इसमें इतनी दक्षता हासिल कर ली है कि लोगों को अपनी आंखों पर विश्वास नहीं होता।

इस जादू को आपको सिखाने का उद्देश्य भी यही है कि आप भी मेरी तरह तेजी से जोड़ने का अभ्यास करें। अगर आप ऐसा अभ्यास कर लेंगे तो कितने भी बड़े से बड़े जोड़ (addition) को भले ही उसकी सारी पंक्तियाँ दर्शकों ने ही क्यों न लिखायी हो, किसी से भी चौथाई समय में करके दिखा सकते हैं।

इस जादू को परिस्थितियों के अनुसार में कई तरीकों से दिखाता हूँ लेकिन यहाँ स्थानाभाव के कारण इनमें से केवल क तरीका दे रहा हूँ जिसे देखने के बाद आपके दर्शक के सारे शक दूर हो जाएंगे।

2. सवाल मालूम नहीं उत्तर पहले मालूम :

अगर पहले जादू को देखकर आपके दर्शक को किसी तरह का संदेह हो जाए और वह यह कहने लगे कि आप अपनी ओर से संख्याएँ क्यों लिखते हैं? मैंने जितनी संख्याएँ लिखायी हैं उतनी ही संख्याओं को इतनी ही तेजी से जोड़कर दिखाएँ तो मैं मानूं?

उसके इस प्रस्ताव पर आप बहस में न पड़ें और न ही बिल्कुल परेशान हों। आप जानते हैं कि अपनी ओर से संख्याएँ लिखना आपकी मजबूरी है। आप बिना अपनी ओर से संख्याएँ लिखे हुए इतनी तेजी से जोड़कर नहीं दिखा सकते। अतः उसके संदेह को दूर करने के लिए आप अपने दर्शकों से कहें कि ठीक है, मैं ऐसा ही करके दिखाता हूँ।

आप उनसे संख्या लिखाने को कहें। जैसे ही दर्शक संख्याएँ लिखाने को तैयार हो जाय, आप उससे बोलें कि रूकिए, आप संख्याएँ बाद में लिखाइएगा। मैं अपने जादू से यह जान चुका हूँ कि आप कौन-कौन सी संख्याएँ लिखाएँगे। आपको नहीं विश्वास हो रहा है तो मैं उन सबों का योगफल (sum) पहले ही लिख देता हूँ। आप केवल इतना बताने की कृपा करें कि आप कितने अंकों की संख्याएँ कितनी बार लिखाएंगे। यानी आप उनसे यह जान लें कि उनकी प्रत्येक पंक्ति में कितने अंक होंगे, और वे ऐसी कितनी पंक्तियाँ लिखाएँगे।

आपके दर्शक हैरानी से आपका मुँह देखने लगेंगे मगर आप उत्तर लिखना प्रारंभ कर दें। अपना उत्तर लिखने के लिए दर्शक जितनी पंक्तियाँ लिखाने की बात करता है उस अंक को मन ही मन 9 से गुणा कर अपने उत्तर की इकाई और सबसे अंतिम अंक प्राप्त कर लें। जैसे यहाँ दर्शकों ने तीन पंक्तियाँ लिखाने की बात की है, इसलिए मैंने पहले 9 को 3 से गुणा कर 27 प्राप्त किया। 27 का दहाई यानी 2 हमारे उत्तर का अंतिम अंक है। आप योगफल का इकाई अंक लिखने के बाद दर्शक की प्रत्येक पंक्ति में जितने अंक है उससे 1 कम 9 लिखें। दर्शक की प्रत्येक पंक्ति में चार-चार अंक हैं, अतः हमने अपने उत्तर में तीन 9 लिखा है। इसके बाद अपने उत्तर का अंतिम अंक यानी 2 जिसे आप पहले ही प्राप्त कर चुके हैं, लिख दें।

योगफल लिखने के बाद जब दर्शक संख्याएँ लिखा चुके तो आप अपनी ओर से उतनी ही पंक्ति और लिख दें। अपनी ओर से पंक्तियाँ लिखने के लिए आप पहले जादू का ही नियम अपनाएँ। हाँ, यहाँ यह अवश्य याद रखें कि इस जादू में न तो कोई key no. है और न ही कोड। आपको दर्शकों द्वारा लिखायी गयी प्रत्येक पंक्ति का जवाब देना है।

3. बिना गुणा (multiply) किये गुणक (multiplier) एवं गुणनफल (product) दोनों बताना:

अगर आप किसी को कहेंगे कि 3x?m? का उत्तर बताओ तो वह आपको बहुत बड़ा पागल समझेगा। वह कहेगा कि जब उसे मालूम ही नहीं है कि इसे कितना से गुणा (multiply) करना है तो वह कैसे बता सकता है कि इसका गुणनफल (product) कितना होगा ? अगर गुणनफल (product) ही मालूम होता तो वह आपको गुणक (multiplier) कितना से गुणा (multiply करेंगें) ही बता दे सकता था। मगर यह तो सरासर बेवकूफी भरा सवाल है। लेकिन आप उसे बड़े ही प्यार से कहेंगे। बड़े भाई (Brother) आप भले ही मुझे पागल समझें या कुछ और लेकिन एक-दो अंकों (digits) की संख्या (number) की बात कौन कहे मैं 5 6 अंकों (number) की संख्या (number) लिख देता हूँ। आप उसे 2 से 6 तक किसी एक अंक (digit) से गुणा (multiply) करें। मैं देखूंगा नहीं लेकिन आपको मैं दोनों चीजें बिल्कुल 'ठीक-ठीक बता सकता हूँ कि आपने किस संख्या (number) से गुणा (multiply) किया और गुणनफल (product) में आपको कितना प्राप्त हुआ हैं? आप कृपा कर अपने गुणनफल (product) का कोई भी एक अंक digit (क) से भी) और उसका स्थान (जैसे वह संख्या इकाई ones सैकड़ा (hundred) इत्यादि कहाँ पर है, बता दें।

यह संख्या (number) 1,42,857 है। इस संख्या (number) का नाम . दीवानी संख्या (number) है क्योंकि इसे 2 से 6 तक किसी भी एक अंक (digit) से गुणा (multiply) करने पर इसके गुणनफल (product) में भी वही सारे अंक (digit) आते हैं जो इसके गुण्य multiplicand जिसे ऊपर लिखा गया है) यानी 1,42,857 में है। आप इसे खुद जाँच कर देख सकते हैं। सबसे बड़ी बात तो यह है कि इसके गुणनफल (product) में अंकों (digits) का क्रम भी वही है जो इसके गुण्य ( multiplicand) में है। जैसे ध्यान दें, 142857 में 2 का अंक (digit) 4 के बाद है। अतः आपके हर गुणनफल (product) में 2 निश्चित रूप से 4 के बाद आएगा।

गुणनफल (produdt) बताने की विधि (method) :- सबसे पहले आप उसका बताया हुआ अंक (digit) लिखें तथा उसके बाद उतने ही अंक (digit) उसी क्रम में गुण्य multiplicand (दीवानी संख्या number) से लिख दें ताकि उसका बताया अंक (digit) उसके बताये स्थान पर आ जाय इसके बाद बचे शेष अंकों remaining digits) को उसी क्रम में पीछे से लिख दें। बस आपका गुणनफल ( (product) तैयार है। जैसे, इस उदाहरण (example) के मुताबिक उसने 4 का अंक (digit) सैकड़ा (hundred) पर बताया है। अतः मैंने पहले 4 लिखा। 4 को सैकड़ा ( hundred) पर आने के लिए इसके बाद दो अंक (digit) और चाहिए अतः मैंने गुण्य (multiplicand) में से 4 के बाद वाले दो अंक (digit) यानी 28 को 4 के बाद लिखा। अतः बाकी बचे अंक 57 को सबसे अंत में लिखा और 4 से पहले बचा अंक 1 को 57 के बाद और 4 के पहले यानी दोनों के बीच लिख दिया। इस तरह 571428 आपका गुणनफल (product) प्राप्त हो गया । हमेशा इस बात का ध्यान रखना है कि दर्शक द्वारा बताये गये अंक (digit) को लिखने के बाद मूल गुणा (original.multiplication) के गुण्य (multiplicand) में से उस अंक (digit) के बाद केवल उतने ही अंक (digit) लिखे जाएँगे ताकि उसका बताया गया अंक (digit) उसके स्थान पर आ जाय । इस के बाद के अंकों (digits) को हमेशा उसी क्रम में सबसे पीछे लिखा जाएगा और गुण्य (multiplicand) के बायीं (left) ओर बचे अंकों (digits) को दर्शक के बताये अंक (digit) के ठीक पीछे लिखा जाएगा। अगर दर्शक द्वारा बताये गये अंक (digit) को उसके बताये गये स्थान पर लाने के लिए मूल गुणा (original multiplication) के गुण्य (multiplicand) में उस अंक के बाद (दायीं right ओर) पर्याप्त अंक (digit) नहीं हैं तो जितने अंक (digit) मौजूद हों उन्हें लिखकर जितने अंक (digit) कम पड़े, उन्हें सबसे पीछे से ले लिया जाता है, और फिर बायीं (left) ओर बचे अंकों (digits) को पीछे की ओर हीजस का तस उतार दिया जाता है। जैसे माना कि आपको दर्शक ने 4 के बदले 5 सैकड़ा (hundred) पर बताया । आप देख रहे हैं कि मूल गुणा (original multiplcation) में 5 के बाद केवल एक ही अंक (digit) 7 है जबकि आपको एक अंक (digit) और चाहिए । अतः आप 57 लिखकर पीछे से एक अंक (digit) यानी 1 को लिख लेंगें । इस तरह आपको 571 प्राप्त हो गया जिसमें 5 सैकड़ा (hundred) जाएगा। पर है। अब बाकी बचे अंक (digit) 428 को 571 से पहले उसी क्रम में उतार दिया। इस तरह आपको दर्शक का गुणनफल (product) 428571 मालूम हो

गुणक (multiplier) बताने की विधि (method):- अब आप गुणनफल (product) के इकाई (ones) को ध्यान में रखकर 7 का पहाड़ा (table) मन ही मन दुहराएं। उसका इकाई अंक (ones digit) 7 के पहाड़ा (table) में जहाँ पर इकाई (ones) पर आएगा वही उसका गुणक (multiplier) होगा। जैसे- इकाई (ones) पर अगर 4 है तो इसका अर्थ है कि उसने 2 से गुणा (multiply) किया है क्योंकि 7 के पहाड़ा (table) में केवल 2 से गुणा (multiply) करने पर ही 4 इकाई (ones) पर आता है। आप स्वयं जाँच कर देख लें। इसी तरह इकाई (ones) पर 1 है तो इसका अर्थ हुआ। उसने 3 से गुणा (multiply) किया है। क्योंकि 7x3 = 21 में 1 इकाई पर आता है।

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