To Calculate as rapidly as computer (कम्प्यूटर की तेजी से गणनाएँ करना)

 23. To Calculate as rapidly as computer (कम्प्यूटर की तेजी से गणनाएँ करना):-

यहाँ हम आपको गुणा करने (multiply) का एक ऐसा अदभुत (strange) व मजेदार तरीका बता रहे हैं कि इन्हें सीख कर आप किसी से भी अपनी प्रतिभा (talent) का लोहा मनवा सकते हैं क्योंकि इस ट्रिकको सीखकर आप कम्प्यूटर से भी जल्दी गुणा करके दिखा सकते हैं?

84 x 86 = 7224

42 x 48 = 2016

75 x 75 = 5625

यह ट्रिक ऐसी दो अंकों की संख्या पर लागू होगा जिसके दहाई के अंक (tens digit) समान हों तथा इकाई (ones) के अंकों का जोड़ (sum of the ones digit) 10 हो। जैसे 84 x 86 = 7224 होगा। ध्यान 84 x 86, 2x 48 एवं 75x75 इन तीनों गुणाओं में, प्रत्येक जोड़े (pair) का दहाई अंक (tens digit) समान है तथा इकाई के अंकों का जोड़, 10 है।

इन्हें बनाने के लिए आप प्रत्येक जोड़े के इकाई अंक (ones digit) को गुणा कर उसे दायीं ओर लिखें तथा दहाई को गिनती के क्रम में (counting series) आने वाली ठीक अगली संख्या से गुणा कर बायीं ओर लिख दें। जैसे 84 x86 में हमने पहले इकाई अंकों का गुणनफल यानी 4x 6 = 24 को दायीं ओर लिखा। गिनती के क्रम में 8 के ठीक बाद 9 आता है, अतः हमने 8 को 9 से गुणा कर 72 को 24 के बायीं ओर लिख दिया। है न कमाल की बात!

ध्यान दें, इस trick में हम पिछले trics की तरह कोई शेष (in hand) या हासिल नहीं रखते हैं।

24. इस ट्रिक को उपयोग में लाते समय अगर इकाई अंकों का गुणनफल केवल 9 हो तो 9 के पहले एक 0 लगाकर 09 को दायीं ओर लिखते हैं। जैसे 81 x 89 = 7209, 31 x 39 = 1209 इत्यादि।

25. इस विधि से तीन अंकों की संख्या का गुणनफल भी आसानी से निकाला जा सकता है बशर्ते इकाई अंकों का योग 10 हो तथा दहाई व सैकड़ा दोनों पर समान अंक हों। जैसे 124 x 126 3 15624 होगा, क्योंकि 4 x6 = 24 एवं 12 x13 (12 के ठीक बाद गिनती में 13 आता है )= 156 । इस तरह 124 x 126 = 15624 होगा।

26. इस विधि में थोड़ा सा परिवर्तन कर दहाई अंक समान नहीं रहने पर भी आसानी गुणनफल प्राप्त किया जा सकता है। जैसे 42 x38, 57x33, 64 x36 इत्यादि। इस विधि में सबसे पहले हम गुणा के जोड़े को बड़े-छोटे के क्रम में सजा लेते हैं। यानी बड़ी संख्या बायीं ओर एवं छोटी संख्या दायीं ओर लिख लेते हैं।
अब दहाई अंकों का अंतर (difference) निकालते हैं और अंतर के रूप में प्राप्त अंक (digit) को बड़ी वाली संख्या की इकाई के बाद मन ही मन लगाकर उस संख्या से छोटी वाली संख्या की इकाई (ones) को गुणा करते हैं। इस गुणनफल के दो अंकों को दायीं ओर लिखते हैं और बाकी बचे अंक शेष के लिए रख लेते हैं।

42 x 38 = 1596

57 x 33 = 1881

64 x 36 = 2304

अगले चरण में बड़ी वाली संख्या के दहाई पर मौजूद अंक से गिनती के क्रम में आनेवाली अगली संख्या (number) से छोटीवाली संख्या
के दहाई अंक (tens digit) को गुणा कर प्राप्त गुणनफल (product) में शेष जोड़कर लिख देते हैं। जैसे 42 x38 = 1596 होगा क्योंकि 4 एवं 3 (दोनों संख्याओं के दहाई अंक tens digit) में 1 का अंतर है। अतः 42 की इकाई यानी 2 के वाद 1 लगाने से 12 बनेगा। जब हम 12 को छोटी संख्या की इकाई यानी 8 से गुणा करते हैं तो हमें 12x8 = 96 प्राप्त होता है। चूँकि 96 में केवल दो ही अंक हैं, अतः शेष बचा ही नहीं। इसलिए 96 को दायीं ओर लिख दिया। अब बड़ी वाली संख्या यानी 42 दहाई 4 है। गिनती के क्रम में 4 के ठीक बाद आने वाली संख्या 5 से हमने छोटी वाली संख्या यानी 38 के दहाई यानी 3 को गुणा कर 5x 3 = 15 लिख दिया।

उसी तरह 57x33 =1881 को देखें। यहाँ 5 एवं 3 में 2 का अंतर है। अत: हमने पहले 27 x 3 = 81 लिखा, फिर 6 x 3 = 18 लिख दिया।

चूँकि 64 x 36 में 6 एवं 3 में 3 का अंतर था। अतः 34x 6 = 204 का 04 हमने दायीं ओर लिखा और 2 को शेष (in hand) के लिए रख लिया। अब हमने 7x3 = 21 में 2 (शेष) जोड़कर 23 लिख दिया। थोड़े से अभ्यास से आप इस ट्रिक के पारंगत बन सकते हैं। कोशिश जारी रखें।

27. अगर दो अंकों की संख्या में इकाई अंकों का योगफल (sum of the ones digits) 5 हो तथा दहाई अंक समान हो जैसे 83x82, 44 x41 इत्यादि. तो आप पहले इकाई अंकों का गुणनफल दायीं ओर लिखें। अब दहाई अंक के वर्ग में दहाई का आधा (half) जोड़कर लिख दें। जैसे 83x82 में 3x2 = 6 हुआ। तथा (8)2+ 8/2 = 64 + 4 = 68 का 68 लिखा। ध्यान दें, इकाई अंकों का गुणनफल (Product) केवल एक अंक है, अत: 6 के पहले 0 लगाकर हमने 06 लिख दिया।

28. इस विधि को उपयोग में लाते समय अगर दहाई अंक विषम (odd number) हो तो आप इकाई के गुणनफल (Product) में 50 जोड़कर प्राप्त संख्या को दायीं और लिखें तथा दहाई के वर्ग में दहाई के आधा का केवल पूर्णांक (whole) जोड़कर लिख दें। जैसे 94x91 = 8554 में हमने पहले 4 x 1 + 50 =3 54 लिखा।

फिर (9)2 +92 = 81 + 4.5 को हमने 81 + 4 = 85 कर लिया। ध्यान दें. 0.5 को हमने छोड़ दिया है क्योंकि 4.5 का केवल पूर्णांक यानी 4 ही हमें दहाई के वर्ग में जोड़ना था। इस तरह चंद सेकेंडों में हमने 91x 94 = 8554 प्राप्त कर लिया।

29. अगर दो अंकों की संख्या ( number of two digits) में इकाई अंक (ones digit) ही समान व सम (Equal & Even) हो तथा दहाई अंकों का योग 5 हो तो गुणा करना और भी आसान है।
पहले हम इकाई अंक (ones) का वर्ग (square) कर दायीं ओर लिखते हैं। इसके बाद दहाई अंकों के गुणनफल में इकाई का आधा जोड़ कर लिख देते हैं। जैसे 36 x 26 में इकाई अंक दोनों संख्याओं में 6 है जो सम (even) होने के साथ ही समान भी है। अतः पहले हमने 62 = 36 लिखा। इसके बाद दहाई अंकों (tens digit) के गुणनफल (Product) में यानी 3x2 में हमने इकाई यानी 6 का आधा 3 जोड़ कर 9 लिख दिया।

30. अगर इस नियम का उपयोग करते समय इकाई पर विषम संख्या (odd No.) हो तो पहले इकाई के वर्ग में 50 जोड़कर योगफल के केवल दो अंक लिखते हैं। फिर दहाई अंकों (tens digit) के गुणफल में इकाई का आधा कर केवल पूर्णांक को जोड़कर लिख देते हैं जैसे 29 x 39 = 1131 होगा।
ध्यान दें, पहले हमने (9)2 = 81में 50 जोड़कर 131 प्राप्त किया और इसके प्रारम्भिक दो अंक यानी 31 को दायीं ओर लिखा। अब हम दहाई अंकों के गुणनफल 2x3 = 6 में 9 का आधा यानी 4.5 का केवल पूर्णाक यानी 4 जोड़ने के साथ ही 1 (शेष) जोड़कर 11 लिख दिया।

आप इन दोनों नियमों को 29 एवं 30 नियम का विलोम भी (opposite) भी समझ सकते हैं।

31. जब दो अंकों की संख्या में इकाई पर 5 हो परन्तु दहाई अंकों के बीच 1 का अंतर हो तो पहले आप दायीं ओर 75 लिख दें। अब बड़ी वाली संख्या के दहाई अंक को गिनती के क्रम में आनेवाली उससे ठीक अगली संख्या से छोटी वाली संख्या के दहाई से गुणा कर बायीं ओर (left side) लिख दें।
जैसे 25 x 35 = 875 होगा। ध्यान दें, पहले हमने 52 यानी 25 में 50 जोड़कर 75 लिख दिया। अब बड़ी वाली संख्या यानी 35 का दहाई अंक यानी 3 से गिनती के क्रम में आनेवाली ठीक अगली संख्या यानी 4 से छोटी वाली संख्या से 25 का दहाई यानी 2 को गुणा कर हमने 4x2 = 8 लिख दिया।

32. अगर इस नियम का उपयोग करते समय दहाई अंकों में ज्यादा का अंतर हो जाए तो पहले आप दोनों अंकों के अंतर को 50 से गुणा कर उसमें 25 जोड़कर योगफल के केवल दो अंक दायीं ओर लिखें और बाकी को शेष के लिए रख लें। अगली क्रिया पूर्ववत करें। केवल शेष जोड़ना (add) नहीं भूलें।

जैसे 35 x 65 = 2275 होगा। ध्यान दें, 35x65 के दहाई अंकों में 6 एवं 3 में 3 का अंतर था। अत: हमने 3 को 50 से गुणा कर उसमें 25 जोड़ा। इस तरह हमें (3 x 50) + 25 = 175 प्राप्त हुआ। हमने 175 के पहले दो अंक 75 को दायीं ओर (right side) लिखा और 1 को शेष के लिए रख लिया। अगले चरण में हमने बड़ी संख्या यानी 65 के दहाई यानी 6 से, गिनती के क्रम में आनेवाली ठीक अगली संख्या (number) यानी 7 को, छोटी-वाली संख्या यानी 35 के दहाई, यानी 3 से गुणा करने के बाद हासिल वाला (in hand) 1 जोड़ कर 7x3 + 1 = 21 + 1 = 22 लिख दिया।

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Common rule for the multiplication of two digit numbers with any two digit number ( दो अंकों की संख्याओं को दो अंकों की संख्याओं से गुणा करने के लिए सामान्य नियम):-