10. Multiplication by the help of division :-
गुणा को भाग से बनाने के लिए आप निम्न सारणी Chart को ध्यान से पढ़कर समझने की कोशिश करें। अगर किसी संख्या को आपको 5 से गुणा करना हो तो पहले
4268 x 5 ÷ 2 = 0
4268 x 25 ÷ 4 = 00
4268 x 125 ÷ 8 = 000
उसे 2 से भाग (divide) कर दें और उसके आगे एक 0 लगा दें। यानी "किसी संख्या को करना हो गुणा 5, तो चट कीजिए हाफ, पॉकेट से लगाइए 0, हो जाएगा उसका बाप, अपने आप, 5 से गुणा।" | जैसे 4628x5 = 23140 होगा क्योंकि 4628 का आधा 2314 होता है। इसके आगे 0 लगाने से प्राप्त संख्या 23140 होती है।
अगर संख्या में 2 से पूरा-पूरा भाग नहीं लगे तो उसको दशमलव पर हाफ करें, फिर दशमलव (decimal ) को साफ करें। जैसे 17x5= 85 क्योंकि 17 का आधा 8.5 होता है। दशमलव हटाने पर 85 बचता है। अगर दशमलव पर आधा करने में परेशानी है तो पहले 17 पर एक 0 लगाकर उसे 170 बना लें और तब आधा करें। इस तरह 170 +2 = 85 होगा जो 17x5
का सही गुणनफल (Product) है।
इसी तरह किसी संख्या (Number) को 25 से गुणा करने के लिए पहले संख्या को 4 से भाग दें और भागफल (Quotient) के रूप में प्राप्त संख्या पर बाद में दो 0 बैठा दें। 125 व 625 से गुणा करने के लिए संख्या (number) को क्रमश: ৪ एवं 16 से भाग दे कर भागफल पर क्रमशः (Respectively) तीन एवं चाः ] बैठा देते हैं।
इतना अवश्य ध्यान रखें कि जब संख्या (number) में पूरा-पूरा भाग नहीं लगे तो हम दशमलव (decimal ) पर भाग करते हैं। दशमलव पर भाग करने के बाद हम दशमलव के दाहिनी ओर के अंकों की संख्या (number of the digts)। गिनते हैं। हमें जितना 0 लगाना होता है उतने ही अंक अगर दशमलव के बाद हैं, तो हम दशमलव को हटा देते हैं और कोई 0 नहीं लगाते। अगर दशमलव के बाद और की संख्या 0 की संख्या (number of Zeroes) से कम है तो हमें उतने ही 0 लन देते हैं जितने 0 कम पड़ते हैं। जैसे 43 x 25 = 1075 में 43 को 4 से भाग कर के बाद 10.75 आता है। 10.75 में दशमलव के बाद दो अंक (digit) हैं। हमें 25 से गुणा (multiply) करने के लिए दो 0 ही लगाना होता है। अतः हम 10.75 में दशमलव को हटाकर 1075 लिख देते हैं जो 43 x 25 का सही गुणनफल (Product) है। लेकिन 38 x 25 में 38 को 4 से भाग देने पर 9.5 आता है। 9.5 में दशमलव के बाद केवल एक अंक (digit) है। 25 से गुणा करने के लिए हमें दो 0 लगाना होता है। अतः हम दशमलव को हटाकर केवल एक 0 लगाते हैं। इस तरह 38 x 25 = 950 होता है।
इतना ध्यान रखें कि दशमलव (decimal ) पर भाग करने पर दशमलव के बाद अंकों की संख्या 0 की संख्या से कम या बराबर तो हो सकती है पर अधिक नहीं हो सकती। अगर अंकों की संख्या अधिक है तो समझें कि भाग देने में कहीं गड़बड़ी हुई है।
11. आइए, देखें ये नियम कैसे काम करते हैं। 8x 5 को हम 8 x 10/2 लिख सकते हैं। क्योंकि 5 को 10/2 लिखा जा सकता है। अगर हमें केवल गुणा भाग की ही क्रिया करनी है तो हम दोनों में से किसी की भी क्रिया पहले करें, और परिणाम में कोई अंतर नहीं आता। जैसे 9x 12 + 3 में हम पहले 12 x9 %=108 कर उसे 3 से भाग दें या 12 +3= 4 कर उसे 9 से गुणा (multiply) करें, परिणाम हर हाल में 36 ही होता है। अत: 8 x 5 को हम 8 x 10/2 मान कर पहले 8 को 2 से भाग कर एक 0 लगा देते हैं क्योंकि एक 0 लगाने का अर्थ ही है 10 से गुणा करना।
12. इन नियमों को याद कैसे रखा जाए ? How to learn by heart these rules :-
इन नियमों को अगर आप ध्यान से देखें तो पाएँगे कि गुण्य तो x, y, 2 कुछ भी हो सकता है अत: उसे याद रखने की जरूरत नहीं है। याद रखना होता है कि कितना से गुणा करने पर किस संख्या से भाग (divide) करेंगे और कितने 0 लगाएँगे। आप ध्यान से देखिए कि इस सीरीज में गुणक (multiplier) 5 के घाल (Power) के रूप में है। 5', 5°.,5°, 5*, आदि। यानी गुणक के सीरीज में हर अगली संख्या पिछली संख्या (last number) की 5 गुणी (5 times) है। उसी तरह भाजक 2 के घात (Power) के रूप में है। और 0 की संख्या क्रमशः 1,2, 3, 4 हें। यानी 0 की संख्या हर स्टेप में केवल एक-एक कर बढ़ती जाती है।
गुणक के इस सीरीज में ठीक अगली संख्या 3125 होगी क्योंकि 625 x 5 = 3125 होता है। अत: इस सारणी के मुताबिक अगर किसी संख्या को 3125 से गुणा (multiply) करना हो तो हम उसे पहले 16 x 2 यानी 32 से भाग करते हैं और फिर उसके आगे पाँच (five) 0 बैठा देते हैं।
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Multiplication by the help of subtraction (गुणा को घटाव से बनाना)
