गणित ज्ञान पहेली ( Mathematical Puzzle)

दोस्तों, किसी की बुद्धि की परिक्षा लेने या दूसरों पर अपनी धाक जमाने के लिए हमेशा से पहेलियों का इस्तेमाल किया जाता रहा है। गणित में भी पहेलियों की भरमार हैं। इनमें से कुछ पहेलियाँ तो ऐसी हैं जिनका उत्तर तो पता है परन्तु उनका उत्तर किस तरह से प्राप्त किया गया है यह किसी को नहीं मालूम। अतः जिनको इनके उत्तर पहले से नहीं मालूम हों, वे घंटों सर खपाने के बाद भी इनका उत्तर ढूंढ पाने में अपने आपको असमर्थ पाते हैं। आइए आपको ऐसे ही कुछ गणित ज्ञान पहेलियों (mathematical puzzle) के बारे में जानकारी दे दूँ।

• 1. Maths. के दीवाने एक छात्र से पूछा गया What is your mother's name उस छात्र को Maths की भाषा में ही बात करने की आदत थी। उसने उत्तर देते हुए कहा - My mother's name is three minus eleven two eleven on the whole recurring. क्या आप उसकी मां का नाम बता सकते हैं?

  उत्तर - आशा (आशा) 311211

• 2. बस में बैठी दो औरतों से उनके बीच का संबंध पूछा गया। वे अपने संबंधों को सबके सामने प्रकट नहीं करना चाहती थी। अतः उन्होंने कहा कि इस गाड़ी का जो नंबर है वही हम दोनों का संबंध है। क्या आप गाड़ी का नंबर बता सकते हैं।

  उत्तर - VR 203 (वी आर दो सौतिन) यानी दोनों सौतन थीं।

• 3. एक दुकानदार के पास केवल चार ही वाट (बटखारा) हैं वह इन्हीं वाटों की मदद से 1 किलो से लेकर 40 किलो तक का सामान एक ही बार में तौलकर दे देता है। क्या आप बता सकते हैं, वे बाट कितने-कितने किलो के हैं? ध्यान रहे, सारे बाट किलो के हैं अतः वह ग्राम में नहीं तौलता।

  उत्तर- 1 किलो, 3 किलो, 9 किलो, 27 किलो। अगर आपको तौलने का अभ्यास हो तो इन्हीं चार बाटों से आप 1 किलो से 40 किलो तक तौल सकते हैं। जैसे 2 किलो तौलने के लिए 3 किलो के बाट को बाट वाले पलड़े में एवं 1 किलो के बाट को सामान वाले पलड़े में रखकर तौल देंगे। बाकी आप खुद करके देख लें।
• 4. एक धर्मस्थान में चार मंदिर बने हुए हैं। एक आदमी नित्य चारों मंदिरों में कुछ फूल लेकर पूजा करने जाता है। मंदिर की शक्ति के कारण जैसे ही वह आदमी फूल लेकर मंदिर में प्रवेश करता है, उसके हाथ के फूल दुगुने (double) हो जाते हैं। वह आदमी हर मंदिर में समान मात्रा में फूल चढ़ाता है और अंत में खाली हाथ घर लौटता है क्योंकि अंतिम मंदिर में फूल चढ़ाने के बाद उसके हाथ में एक भी फूल नहीं बचता। क्या आप बता सकते हैं, वह कितने फूल लेकर जाता है और कितने फूल मंदिरों में चढ़ाता है।

  उत्तर- 15 फूल लेकर जाएगा, 16 फूल चढ़ाएगा। पहले मंदिर में प्रवेश करने पर उसके हाथ में 30 फूल हो गये। इनमें से 16 फूल चढ़ाने और 14 फूल बचे। दूसरे मंदिर में 28 फूल हो गये। इनमें से 16 फूल चढ़ाने पर 3 फूल बचे। तीसरे मंदिर में 24 फूल हो गये। इनमें से 16 फूल चढ़ाने पर 8 बचे। चौथे मंदिर में 16 फूल हो गये। ये 16 फूल चढ़ा देने पर उसके पास एक भी फूल नहीं बचा।
• 5. (x-a) (x-b)(x-c) ....... (x-z) = ?

  उत्तर- 0 क्योंकि X का मान कुछ भी हो, इस सीरीज में कहीं पर x-x अवश्य आएगा। x-x मान 0 होगा और 0 को किसी संख्या से गुणा करने पर 0 ही होता है।
• 6. एक होटल में 12 कमरे बने हुए हैं। यदि होटल में कुल 40 आदमी ठहरे हुए हैं तो भी एक कतार के किन्हीं चार कमरों में ठहरे हुए कुल आदमियों की संख्या 15 होती है और अगर होटल में कुल 44 आदमी ठहरे हैं तब भी एक कतार के चार कमरों में ठहरे कुल आदमियों की संख्या 15 ही होती है। बताइए, ऐसा कैसे संभव है ?

  उत्तर-

  5	3	2	5
  3	कुल 40		3
  2			2
  5	2	3	5

  
  
  

  4	3	4	4
  4	कुल 44		3
  3			4
  4	4	3	4

• 7. एक आदमी के पास 9 गायें हैं जिनमें से प्रत्येक अपने नं के अनुसार उतनी ही किला दूध देती है। जैसे 1नं की गाय 1 किलो, 2नं को गाय 2 किलो आदि। उसके पास तीन बेटे हैं। यह अपने इन गायों को तीनों बेटों में किस प्रकार बाँटे कि प्रत्येक को समान मात्रा में दूध मिलें।

  उत्तर- पहले को 4, 9, 2 दूसरे को 3, 5, 7 एवं तीसरे को 8, 1, 6 नं की गायें या"" 4, 3, 8" " 9, 5, 1 एवं तीसरे को 2, 7, 6 नं की गायें

मौखिक रूप से वर्ग निकालने के लिए कुछ आसान तरीके (Some easy methods to find out square orally)

A- अगर संख्या (number) 50 के नजदीक (approx) है:

नियम 1:- अगर संख्या (number) 50 से कम है तो पहले आप उस संख्या (number) में से उतना घटा (subtract) लें जितना वह 50 से कम है। जैसे अगर आपको (48)² निकालना, है तो आप पहले 48 में से 2 घटाएँगे (subtract) क्योंकि 48 निश्चित रूप से 50 से 2 कम है। अब आप इस संख्या (number) को 2 से भाग (divide) कर पहले बोलें जिसे आपने संख्या में से घटाकर (subtract) प्राप्त किया था यानी (48)² निकालने के लिए हम 48-2 को 2 से भाग करेंगे। इस तरह हमें 48-2 यानी 46 को 2 से भाग (divide) करने पर 23 मिलेगा जो हम पहले बोलेंगे।

अब आप उस संख्या (number) का वर्ग (square) बोल दें जिसे आपने संख्या से घटाया था यांनी (48)² के लिए पहले (48-2) -2 यानी 46 2=23 बोलेंगे और बाद में 2² = 4 बोलेंगे चूंकि 4 केवल एक अंकों (digits) की संख्या है अतः हम 4 बोलने से पहले अपनी ओर से एक 0 लगाकर 04 बोलेंगे। अतः (48) = (482) 2 / (2)'-46-2/04=2304 बोलेंगे। उसी तरह (44)² = (44-6)/ 2/6² = 382/36 = 1936 बोलेंगे। याद रहे / चि (Sign of oblique) का उपयोग दो step को अलग करने के लिए किया गया है इसे भाग (divide) समझने की गलती न करें।

ध्यान दें, हमने 44 से पहले 6 घटाया (subtract) है क्योंकि यह 50 से 6 कम है। अतः (44-6) +2=38+ 2 = 19 हम पहले बोलेंगे और इसके बाद 6² = 36 बोल देंगे। याद रहे, 36 बोलने से पहले हम 0 नहीं बोलेंगे क्योंकि यह खुद ही दो अंकों (digits) की संख्या (number)

नियम 2:- अगर दी गयी संख्या (number) 50 से अधिक है तो सारी क्रियाएँ आप पूर्ववत (given before) करें, केवल जिस संख्या को आप घटा (subtract) रहे थे, उसे जोड़ (add) दें, जैसे (57)² = (57+7) + 2 / (7) = 64+2/49 = 3249

ध्यान दें, हमने 57 में 7 जोड़ा (add) क्योंकि यह 50 से 7 अधिक है। बाकी क्रिया पहले की तरह ही की गयी है। उसी तरह (53)² = (53+3)+2/(3) =56+2/09-2809 होगा। ध्यान दें, हम 3² = 9 बोलने से पहले 0 लगायेंगे, क्योंकि यह एक अंक (single digit) की संख्या है। B. 50 के नजदीक वाली संख्या (number) का वर्ग निकालने का सबसे नया तरीका।

नियम:- अगर संख्या (number) 50 से कम है, तो पहले आप 25 से उतना घटा लें जितना वह 50 से कम है। इसे पहले बोलें और बाद में उस संख्या का वर्ग (square) बोल दें जिसे आपने घटाया था। जैसे (43)² = 25-717 = 1849 होगा। अगर वर्ग करने पर संख्या । अंक (digit) की है तो अपनी ओर से ) लगाना नहीं भूलें लेकिन तीन अंकों की होने पर तीसरे अंक यानी सैकड़े वाले अंक (hundredth digit) को पहले वाली संख्या (number) यानी घटाने से प्राप्त होने वाली संख्या में जोड़ना (add) न भूलें। जैसे (38)² = 25-12/(12)2 = 13/144=13+1/44=1444 होगा।

नियम 2:- अगर संख्या 50 से अधिक है तो सारी क्रियाएँ हम पूर्ववत (given before) करेंगे, केवल घटाने (subtract) की जगह जोड़ने का काम करेंगे। जैसे (58)² = 25+8 / (8) = 33/64=3364 होगा।

C. अगर संख्या (number) 100 के नजदीक (approx) हो

नियम 1:- अगर संख्या (number) 100 से कम है तो पहले आप उस संख्या (number) में से उतना घटा (subtract) लें जितना वह 100 से कम है और इस संख्या (number) को पहले बोलें जैसे (96) करने के लिए पहले आप 96-4= 92 बोलेंगे। ध्यान दीजिए, हमने 96 से 4 घटाया (substract) है क्योंकि यह 100 से 4 कम है।

अब आप उस संख्या का वर्ग (square) बोल दें जिसे आपने घटाया (substract) था। हाँ, अगर यह संख्या केवल एक अंक (digit) की है तो अपनी ओर से लगाना नहीं भूलें लेकिन अगर यह संख्या तीन अंकों (digits) की हो तो आप सैकड़े के अंक (digit of hundred) को पिछली संख्या (जो आप सबसे पहले बोले थे) उसमें जोड़ कर बोलेंगे।

ध्यान दें (96)² निकालने के लिए पहले हमने 96492 बोला और इसके बाद 4 = 16 बोल दिया। इस तरह (96)² = 9216 होगा। चूंकि 16 स्वयं दो अंकों की एक संख्या (number) है, अतः हमने 16 बोलने से पहले 0 नहीं लगाया। लेकिन (83) 2 करने के लिए पहले हम 83-1766 निकालेंगे, लेकिन अभी इसे नहीं बोलेंगे। इसे बोलने से पहले मन ही मन नियमानुसार (according to rule) (17)² = 289 मालूम कर इसके सैकड़ा ( hundredth) के अंक (digit) यानी 2 को 66 में जोड़ देंगे। इस तरह (83)² = (83-17) +2/89=6889 होगा।

नियम 2:- अगर संख्या 100 से अधिक है तो आप सारी क्रियाएँ पूर्ववत (given) before) करें, केवल आप संख्या (number) को घटाने के बदले जोड़ (add) दें। जैसे (104)²  = 104+4/(4)²  = 10816 होगा। ध्यान दें, हमने पहले 104 में 4 जोड़कर (add) 108 बोला, क्योंकि यह 100 से 4 अधिक है। इसके बाद हमने 4' यानी 16 बोल दिया। लेकिन (124)² = 124+24/(24) ²  में हम पहले 124+24 = 148 निकाल लेंगें लेकिन इसे बोलेंगे नहीं। इसे बोलने से पहले हम मन ही मन (24) 2 = 576 निकाल लेंगे। और इसको सैकड़ा (hundredth) के अंक (digit) यानी 5 को 148 में जोड़कर पहले 153 बोलेंगे और इसके बाद 76 बोल देंगे। इस तरह (124) 2 = 15376 होगा।

हाँ (103) = 103+3/32=106/09 यानी 10609 होगा। ध्यान रहे, हमने 32 = 9 से पहले 0 लगाया है क्योंकि 9 केवल एक अंक (digit) की संख्या है।

D. अगर संख्या (number) 200 के नजदीक है।

नियम 1:- अगर संख्या 200 से अधिक है, तो आप सारी क्रियाएँ B जैसे ही करें, केवल संख्या में जोड़ने (add) के बाद उसे 2 से गुणा कर दें। जैसे (208)² = 2(208+8)/8=2×216/64-43264, (214)=2 (214+14)/14² = 2×228/196=456 + 1/96 = 45796 होगा ध्यान दें, हमने (14) = 196 के 1 को 456 में जोड़ (add) दिया है।

नियम 2:- अगर संख्या 100 से कम है तो आप सारी क्रियाएँ पूर्ववत करें, केवल संख्या (number) को जोड़ने के बदले घटा दें। जैसे (193)-2(193-7/72=2×186/ 49=37249 होगा। लेकिन (184) ² = 2 (184-16 33856 होगा। ध्यान दें, हमने ( 16 )² / 162 = 2 × 168/256 = 336+2/56 = ) 2 = 256 के 2 को 336 में जोड़ (add)दिया है।

E. आप इस नियम पर गौर करके 300, 400 या 500 से नजदीक (Approx) की संख्या (number) के लिए भी ट्रिक बना सकते हैं।

जैसे (318)² = 3 (318+18)/182 = 3x336/324=1008+3/24=1011/24 होगा। उसी तरह (694)² =7(694–6) /62=7x688/36=4816/36=481636 होगा।

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घनमूल निकालना (To find out cube-root)