वर्ग (Square)
वर्ग कैसे निकालते हैं?
वर्ग (Square) ज्यामिति की एक आकृति है। यदि किसी चतुर्भुज की चारों भुजाएं बराबर हों और चारो कोण समकोण हों तो उस चतुर्भुज को वर्ग कहते है।
1 का वर्ग क्या होगा?
1. Square of the number having 1 & only 1 as digits (जिस संख्या में केवल 1 ही 1 हो उसका वर्ग निकालना) :-
सबसे पहले आप दी हुई संख्या (given number) में 1 की संख्या गिन लें। अब आप 1 से लेकर उतना तक गिनती की संख्याओं को लिख लें। अब अंतिम अंक को छोड़कर बाकी बची संख्या को अवरोही क्रम (descending order) में लिख लें। जैसे (1111) = 1234321 होगा।
ध्यान दें, 1111 में 1 की संख्या 4 है। अत: हमने पहले 1 से 4 तक लिखा। चूंकि अंतिम अंक 4 है अत: 4 को छोड़कर 321 को अवरोही क्रम (descending order) में लिख दिया।
2. अगर किसी संख्या में केवल 9 ही 9 हो तो आप पहले 9 की संख्या गिन लें।
संख्या में जितने 9 हों उससे एक कम 9 बायीं ओर से लिखें। अब इसके बाद 8 लिखें। इसके बाद 8 के बायीं ओर जितना 9 लिखे
हैं, उतने ही 0 लिखें। सबसे अंत में 1 लिख दें।
जैसे (99999) = 9999800001 होगा। ध्यान दें, 99999 में 9 की संख्या 5 है। अत: हमने अपने उत्तर में केवल चार 9 लिखा।
इसके बाद 8 लिखा। चूंकि 8 के बायीं ओर (left side) चार 9 लिखा था अतः 8 के वाद चार 0 लिख दिया। सबसे अंत में 1
लिख दिया।
ध्यान रखें कि इस विधि में 9 एवं 0 की संख्या हमेशा संख्या में दी गयी संख्या एक कम लिखा जाता है । परन्तु 1 एवं 8 की
संख्या
हमेशा एक ही रहती है। इस विधि से आप 9 से अधिक अंकों की संख्या का वर्ग भी निकाल सकते हैं। परन्तु आप नियम
संख्या
1 से 9 से अधिक 1 रहने पर काम नहीं ले सकते।
3. Common rule for the squaring of a number having similar digits ( एक जैसे अंकों से बनी संख्याओं का वर्ग
निकालने के लिए एक सामान्य नियम ):-
जैसे (44444) = 1975269136 होगा। ध्यान दें, इस संख्या में पाँच 4 हैं। यह संख्या 4 से बनी है, इसलिए 4 का वर्ग यानी
16 का पहाड़ा हम 1 से 5 बार पढ़ते
हैं। जैसे 16 का 16 हुआ। इस 16 का 6 लिखे और 1 हासिल (शेष) 1 रहा। अब 16 x 2 = 32 + 1 = 33 का 3 लिखा।
इसके बाद 16x3 3 48 + 3 (शेष) = 51 का 1 लिखा। अब 16 x4 = 64 + 5 = 69 का 9 लिखा। अब
16 x5 = 80+6 = 86 का 6 लिखा। अब तक हम 16 का पहाड़ा 5 बार पढ़ चुके इसलिए अब चार से एक तक उलटा
पहाड़ा पढ़ते हुए लिखते जाते हैं। जैसे 16x4 =64+8 (पिछले step का शेष) = 72 का 2 लिखा और 7 शेष रह गया।
अब 16 x 3 = 48 + 7 = 55 का 5 लिखा। फिर 16 x 2 + 5 %3 32 + 5 = 37 का 7 लिखा। सबसे अंत में
16 x 1 = 16 + 3 = 19 का 19 लिख दिया कहिए कैसी रही?
4. अगर किसी दो अंकों की संख्या ( number of two digits) की इकाई पर (ones) 5 हो तो उसका वर्ग आप
मौखिक रूप से इतना जल्दी निकाल ले सकते हैं कि देखने वाला अचंभित हुए बिना नहीं रह पाएगा। इसके लिए
पहले आप उस संख्या (number) की दहाई (tens) को गिनती के क्रम में आनेवाली उससे ठीक अगली संख्या से
गुणा कर लें और उसके आगे दायीं ओर 25 लिख दें। इसमें शेष रखने का कोई झंझट नहीं है।
जैसे (85) = 7225 होगा। ध्यान दें, 85 का दहाई अंक 8 है। गिनती के क्रम में 8 के ठीक बाद 9 आता है।
अतः हमने पहले 8x 9 = 72 लिखा और आगे 25 लिख दिया।
5. इस विधि से आप तीन अंकों की संख्या का वर्ग भी निकाल सकते हैं, बशर्ते आपको दो अंकों की संख्या का
पहाड़ा मालूम हो और उसके इकाई पर भी 5 हो। इसके लिए आप दहाई व सैकड़े से बनी संख्या को गिनती के
क्रम में आने वाली उससे अगली संख्या से गुणा कर दें, और आगे 25 लिख दें। जैसे (265) = 70225 होगा।
चूंकि गिनती में 26 के बाद 27 आता है, अत: हमने पहले 26 x27 = 702 लिखा और इसके बाद 25 लिख दिया।
6. अगर किसी दो अंकों की संख्या की इकाई पर 1 है तो उसका वर्ग निकालने के लिए पहले दायीं ओर 1 लिख दें।
अब दहाई को दुगुना (double) कर उसका एक अंक लिखें और बाकी शेष के लिए रख लें। सबसे अंत में दहाई अंक
का वर्ग (square) कर उसमें शेष जोड़कर लिख दें। जैसे (81) 3D 6561 होगा। ध्यान दे, पहले हमने दायीं ओर 1
लिखा। अव 8 x 2 = 16 लिखा। सबसे अंत में (8) = 64 में 1 जोड़कर 65 लिख दिया।
7. इसी नियम से आप तीन अंकों की संख्या का वर्ग (square ) भी आसानी से निकाल सकते हैं, बशर्ते उनकी इकाई पर
1 हो। इसके लिए हम दहाई व सैकड़ा दोनों को एक साथ लेकर पिछले नियम की तरह ही क्रिया करते हैं।
जैसे - (131) = 17161 होगा। ध्यान दें, पहले हमने 1 लिखा फिर 13x2 = 26 का 6 लिखा और 2 शेष रहा।
अब (13) = 169 में 2 (शेष) जोड़कर 171 लिख
दिया।
आपको यदि (84) निकालना है तो आप 84 x 84 या ( 80+ 4 %3 84)^ या (90 - 6) करके निकालते हैं परन्तु
इनमें से किसी भी तरीके से आप इसे मुँह जुबानी नहीं निकाल सकते हैं। अगर आपको मुँहजुबानी निकालना है तो
आप मेरे इस जादुई तरीके का अभ्यास करें। यह जादुई तरीका है (8 + 4 ) °%3 (84) चौंकिए मत, 8 + 4 = 84
नहीं होगा, लेकिन मेरे जादुई तरीके से (8+4 ) ^ = ( 84) ही होगा।
हमने 84 में 4 को a एवं 8 को b माना। (a + b) = a + 2ab + b° होता है जो आप जानते ही हैं। अब इसी सूत्र में
मेरे तरीके से सबों का मान बैठाइए। पहले आप a निकालेंगे तो यह (4) 3D 16 होगा। अतः 16 का 6 लिख लें और
1 को शेष के लिए रख लें। अब 2ab में ab का मान बैठाने पर 2 x8 x4 =64 होगा। इसमें 1 (शेष) जोड़कर 65 का
5 लिखें और 6 को (शेष) के लिए रख लें। अब सबसे अंत में b° यानी (8) = 64 में 6 (शेष) जोड़कर 70 लिख दें ।
इस तरह कुछ ही सेकेण्डों में हमें (84) = 7056 प्राप्त हो गया| कहिए, कैसी रही?
किसी भी दो अंकों की संख्या में इकाई को a एवं दहाई को b मानकर हम इसी तरह आसानी से उनका वर्ग कुछ ही
सेकेण्डों में प्राप्त कर ले सकते हैं।
9. तीन अंकों की संख्या में यदि सैकड़ा पर 1 हो तो आप उसका वर्ग (square) निकालने के लिए पहले उस संख्या में
उसी संख्या का इकाई अंक (ones) जोड़ दें। अब इस संख्या को, मूल संख्या के इकाई को छोड़कर बाकी बची संख्या
से गुणा कर दें। इस गुणनफल के इकाई पर अपनी ओर से 0 लगा दें। अब इस नयी संख्या में मूलसंख्या (original number)
की इकाई का वर्ग जोड दें। बस, आपका वर्ग
निकल जाएगा।
जैसे (146)^2 = 21316 होगा।
ध्यान दें पहले हमने 146 में इसका इकाई यानी 6 जोड़ा तो 152 हुआ। अब हमने 146 में इकाई को छोड़कर बाकी बची संख्या
यानी 14 से 152 को गुणा किया तो 2128 हुआ। इस संख्या के आगे एक 0 लगाने पर 21280 होगा। अब सबसे अंत में हमने
इसमें 146 का इकाई यानी 6 का वर्ग जोड़ा तो 21280 + 6° = 21280 +36 21316 होगा।
10. अगर आपको दो अंकों की संख्या का पहाड़ा आता है तो इसी विधि से आप तीन अंकों की किसी भी संख्या का वर्ग
मुँहजुबानी निकाल सकते हैं। अगर आपको 19 से अधिक के पहाड़ा में दिक्कत है तो परेशान न हों। नीचे दिए गए सूत्र
का अभ्यास करें।
11. Common rule for squaring of any 3-digit numbers (3 अंकों की संख्याओं का वर्ग निकालने का
सामान्य नियम ):-
तीन अंकों की संख्या के गुणा के नियम की तरह वर्ग निकालने की क्रिया भी 5 चरणों में होगी। सबसे पहले आप इकाई अंक का
वर्ग कर इकाई को लिखें और दहाई (tens) शेष के लिए रख लें। अब द0 x ई0 x 2 में शेष जोड़कर इस योगफल का इकाई
लिखें। अब सै० x द० x 2 + शेष के योगफल का इकाई (ones) लिखें। सबसे अंत में (सै०) + शेष लिख दें।
जैसे (497) निकालने के लिए पहले हम 7 का वर्ग यानी 49 का 9 लिखते हैं। अब (9x 7 x 2) + 4 (शेष) = 126 + 4 = 130
का 0 लिखते हैं। अब (4x 7x2) + 13 (शेप) + (9) = 56 + 13 + 81 = 150 का 0 लिखते हैं और 15 शेष के लिए रख लेते हैं।
अय (4 x 9 x 2) + 15 (शेष) = 72 + 15 = 87 का 7 लिखते हैं। सबसे अंत में 4 + 8 = 16 + 8 = 24 लिख देते हैं।
इस तरह (497) = 247009 कुछ ही सैकेण्ड़ों में प्राप्त हो गया। =
अगर आप इसे (a+b+c) के सूत्र पर बैठाना चाहते हैं तो अपको अपने सूत्र में थोड़ा सा परिवर्तन करना होगा।
इस जादू के लिए (a+b+c)' का सूत्र है a + 2ab + (b* +2ac) + 2bc + c* यानी हम (2ac + b°) को क्रिया एक
साथ करेंगें। हाँ, हम मान उसी तरह बैठाएंगे जैसे (a+b) में हमने बैठाया था यानी हम योगफल का कंवल इकाई लिखेंगे
और शेष को अगले step के योगफल में जोड़ेंगे।
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