वर्गमूल (Square-root)
1. वर्गमूल निकालना (To find Square-root) || How do I calculate square root? :-
तीन अंकों तक की संख्याओं का वर्गमूल हम मौखिक रूप से निकाल लेते हैं, लेकिन इससे अधिक अंकों की संख्या का वर्गमूल हम मौखिक रूप से नहीं निकाल पाते हैं। अगर आप इस नियम को ठीक से समझ कर अभ्यास कर लें, तो आप बड़ी से बड़ी संख्या का वर्गमूल भी मुँहजुबानी निकाल सकते हैं।
चार अंकों की संख्या (4-digit number) का वर्गमूल निकालने के लिए सबसे पहले आप यह देखें कि दी हुई संख्या (given number) यानी जिस संख्या का आपको वर्गमूल (Square-root) निकालना है, उस संख्या का इकाई अंक (Ones digit) किस अंक के वर्ग (Square) में इकाई पर आता है। जैसे अगर हमें √7056 का मान निकालना है तो हम देखेंगे कि 6 किस अंक के वर्ग में इकाई पर आता है। चूंकि 4²= 16 एवं 6²= 36 होता है। यानी 4 एवं 6 इन्हीं दो अंकों के वर्ग में 6 इकाई पर आता है। अतः हमारे उत्तर का इकाई अंक 4 या 6 इन्हीं दो अंकों में से कोई एक अंक होगा।
अब हम दी हुई संख्या (जिसका हमें वर्गमूल निकालना है) के दहाई को छोड़ देते हैं और सैकड़ा व हजार (thousands) पर मौजूद संख्या की निकटतम पूर्ण वर्ग संख्या (complete root) मालूम करते हैं। इसी पूर्ण वर्गसंख्या का वर्गमूल हमार उत्तर का दहाई अंक होता है। जैसे √7056 में 5 को छोड़ दिया गया। 70 के निकटतम पूर्णवर्ग संख्या 64 है जिसका वर्गमूल 8 होता है, अतः हमारे उत्तर का दहाई अक निश्चित रूप से 8 होगा। इस तरह हमें √7056 = 84 या 86 मालूम हो जाएगा इन्हीं दोनों संख्याओं में से कोई एक √7056 का मान है। अब प्रश्न उठता है !!
इन दोनों में वह संख्या कौन सी है।
इसका पता लगाना भी बहुत आसान है। आप दी हुई संख्या (जिसका वर्गमूल निकालना था) के सैकड़े व हजार पर मौजूद संख्या एवं उस संख्या के निकटतम पूर्ण वर्ग संख्या का अंतर ज्ञात करें। यदि यह अंतर आपके उत्तर की दहाई से कम है तो इसका अर्थ है कि उत्तर के रूप में प्राप्त इन दो संख्याओं में से छोटी संख्या सही उत्तर है यदि यह अंतर (difference) आपके उत्तर की दहाई से अधिक हो तो निश्चित रूप से इन दोनों संख्याओं में बड़ी वाली संख्या हमारा सही उत्तर है। जैसे √7056 में 70 के निकटतम पूर्ण वर्ग संख्या 64 एवं 70 का अंतर 6 है जो उत्तर के दहाई यानी 8 से कम है अत: 84 एवं 86 में से छोटी वाली संख्या यानी 84 ही हरहाल में √7056 का सही मान है?
अगर आप √7396 का मान इसी तरह से निकाले तो आपको यहाँ भी उत्तर के रूप में 84 एवं 86 प्राप्त होगा। 73 के सबसे निकट की पूर्ण संख्या भी 64 ही है परन्तु 73 एवं 64 का अंतर 9 होता है जो हमारे उत्तर का दहाई यानी 8 से अधिक है। अत: हमारा उत्तर इन दोनों में बड़ी संख्या यानी 86 होगी जो √7396 का सही मान है।
यहाँ एक बात हमेशा याद रखें कि सबसे निकट की पूर्ण वर्ग संख्या हमेशा दी हुई संख्या (given number) से छोटी संख्या ही निकाला जाता है।
2. अगर हमें 5 अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना हो तो हम सारी क्रिया पूर्ववत करते हैं। केवल सबसे निकट की पूर्ण संख्या हम सैकड़ा, हजार व दस हजार के स्थान पर मौजूद संख्या को ध्यान में रखकर निकालते हैं। जैसे √28224 = 168 होगा। क्योंकि 4 हमेशा 2 या 8 वर्ग के में इकाई पर आएगा। अतः हमारे उत्तर का इकाई अंक 2 या 8 ही होगा। 282 से छोटी निकटतम पूर्ण वर्ग संख्या 256 है। अत: इसका वर्गमूल यानी √256 = 16 हमारे उत्तर का दहाई व सैकड़ा है। चूंकि 282 एवं 256 का अंतर 26 होता है जो हमारे उत्तर के दहाई व सैकड़ा पर मौजूद संख्या 16 से अधिक है अतः 162 एवं 168 में से बड़ी वाली संख्या यानी 168 ही √ 28224 का सही मान है।